Question

如圖（a）所示，裝有部分水的試管豎直漂浮在容器內的水面上，試管內水面與容器底部的距離為h，試管壁的厚度不計，粗細均勻．現將某物塊放入試管，物塊漂浮在試管內的水面上，試管仍漂浮在容器內的水面上，此時試管內水面與容器底部的距離為h′，如圖（b）所示，則h′

＞

h（選填“＞”、“＜”或“=”）．取走該物塊，將另一物塊完全浸沒在該試管水中，發現試管內水面與容器底部的距離恰好又變為h，如圖（c）所示，若試管橫截面積與容器橫截面積之比為1：5，則新放入的物塊密度為

1.25×10³

千克/米³．

Answer 1

分析：根據試管漂浮、物體下沉，可分別表示出將物塊放入后，物塊的排水體積、試管的排水體積、容器內液面上升的體積，再利用浮力公式、重力、質量公式將其中的等量關系表示出來，最終找出物體密度與水的密度的關系．

解答：解：（1）設S₁表示試管底面積，S₂表示容器底面積，當漂浮時，h₀表示試管中液體上升的高度，h₁表示試管底部應再下沉的深度，h₂表示因試管下沉容器液面上升的高度，
因物塊在試管內漂浮，F_浮1=G_物1，即：ρ_水gh₀S₁=m_物1g；∴h₀=

m物1

ρ水S1

，
h₁表示試管底部應再下沉的深度，因試管中放入的物塊而使試管受到的浮力會增加，所以增加量△F_浮=G_物1，即：ρ_水gS₁h₁=m_物1g，∴h₁=

m物1

ρ水S1

，
試管在容器中應再排開的水的體積△V₂=（S₂-S₁）h₂，容器中因試管放入的物塊而使試管受到的浮力會增加，排開的水的體積增大，所以根據阿基米德原理得：△F_浮=G_物1，即：ρ_水g（S₂-S₁）h₂=m_物1g，∴h₂=

m物1

ρ水(S2-S1)

，
由題意可得：
h′=h-（h₁-h₂）+h₀
=h-（

m物1

ρ水S1

-

m物1

ρ水(S2-S1)

）-

m物1

ρ水S1

=h+

m物1

ρ水(s2-s1)

＞h．
（2）當放入試管中的另一物塊下沉時，H₀表示試管中液體上升的高度，H₁表示試管底部應再下沉的深度，H₂表示因試管下沉容器液面上升的高度，
試管內的物體下沉，排開水V₁=V_物=S₁H₀；
試管在容器中應再排開的水的體積V₂=S₂H₂=S₁H₁
由題意可得：h′=h-（H₁-H₂）+H₀．
因為h′=h，則（H₁-H₂）=H₀，此時S₂=5S₁，所以H₂=

H1

5

．
又因為試管仍然漂浮，所以新排開的水重等于新加入的物體重，G_物=ρ_水gV₂，則m_物=ρ_水V₂．
物塊的密度：ρ_物=

m物

V物

=

ρ水V2

V1

=

ρ水S2H2

S1H0

=

ρ水S1H1

S1(H1-H2)

，
此時將H₂=

H1

5

代入可得：ρ_物=

5ρ水

4

=1.25×10³kg/m³．
故答案為：＞，1.25×10³．

點評：解決此題關鍵是要對物體放入試管前后，對試管內外液面的變化、體積的變化等有一個清楚的認識，并能從中找出等量關系，再利用相關公式來進行求解，此題在推理過程中要求具有清晰的思路，難度較大．