Question

如圖所示，小明家離河邊距離AC=400m，張奶奶家離河邊距離BD=800m，已知CD=900m，小明行走的平均速度是1.5m/s，則小明從自家出發到河邊提水，然后把水送到張奶奶家，一次至少要用多長時間？（要求通過作圖找出取水點O，然后再求解）．

Answer 1

分析：本題為數學上的最短路線問題，由平面鏡的成像特點知，像與物關于鏡面對稱，且像是由光的反射光線的延長線形成的，作出A點關于河岸的對稱點A′，連接A′B，交河岸于點O，即為到河邊取水的地方，再完成路線圖；求出總路程，利用速度公式求一次至少要用多長時間．

解答：解：如圖所示，做A關于河岸的對稱點A′，連接A′B與河岸相交于點O，則行走的最短路程為由A到O再到B．
∵Rt△CA′O∽Rt△DBO，
∴

CO

DO

=

A′C

BD

=

AC

BD

=

400m

800m

=

1

2

，
∵CD=900m，
∴CO=300m，DO=600m，
AO=

(AC)2+(CO)2

=

(400m)2+(300m)2

=500m，
DO=

(BD)2+(DO)2

=

(800m)2+(600m)2

=1000m，
行走的最短路程s=500m+1000m=1500m，
一次至少要用多長時間：
t=

s

v

=

1500m

1.5m/s

=1000s．
答：把水送到張奶奶家，一次至少要用1000s．

點評：最短路徑的數學問題，這類問題的解答依據是“兩點之間，線段最短”，可以利用對稱的性質，通過等線段代換，將所求路線長轉化為兩定點之間的距離．