Question

如圖所示，為小芳設計的一個帶有自動控制定時排水裝置的長方體水箱．水箱中，杠桿AO的右端能繞固走點O在豎直平面內自由轉動，杠桿的左端A通過很小的掛鉤及長為L=20cm連桿與一長方體浮子相連，BC為一連接杠桿與排水閥C的直桿．杠桿AO水平時排水閥正好能密封住排水管管口，當浮子體積的

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被水浸沒時，浮子帶動杠桿提起排水閥開始排水，設每次排水均能將水箱中的水迅速排完，排完后進水管立即自動注水．已知OA=3OB，浮子的底面積和排水閥面積均為S₁=80cm²，浮子高h₁=40cm、質量m₁=0.4kg，點O距箱底h₂=20cm，水箱底面積為S₂=6×10³cm²，且水箱足夠高．不計連桿及杠桿的質量和體積，不計排水閥的厚度，取水的密度為ρ=1×10³kg/m³，g=10N/kg．試問：
（1）排水閥C的質量m₂為多少千克？
（2）如果進水管中水的流量為Q=0.02m³/min，則該水箱某次排水結束到下次開始排水所用的時間為多少分鐘？

Answer 1

分析：（1）求出當浮子體積的3/4被水浸沒時，浮子受到的浮力，則A端受到的作用力等于浮力減去浮子的重力，然后根據杠桿平衡的條件即可求出）排水閥C的質量；
（2）當水箱內的水高度達到設計高度時，水箱內的水就向外排出，因此水管中流出的水的體積等于水箱內水達到設計高度時的體積時，所用的時間就是間隔的放水時間．

解答：解：（1）當浮子體積的

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被水浸沒時，浮子受到的浮力：F_浮=ρ_水gV_排=1×10³kg/m³×10N/kg×

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4

×80×10^-4m²×0.4m=32N，
浮子的重力：G_浮子=m₁g=0.4kg×10N/kg=4N，
則根據杠桿平衡的條件可得：（F_浮-G_浮子）×OA=m₂g×OB
m₂=

(F浮-G浮子)×OA

g×OB

=

(32N-4N)×3

10N/kg

=8.4kg；
（2）根據題意可知，水箱內水面的最大高度：h=h₂+L+

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4

h₁=20cm+20cm+

3

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×40cm=50cm=0.5m；
已知：S₂=6×10³cm²=0.6m²，Q=0.02m³/min．
當水位達到設計高度時，水箱內水的體積為：V_箱=S₂h=（0.6m）²×0.5m=0.18m³          
自來水管的流量Q=0.02m³/min，蓄滿一箱水所用時間：
t=

V箱

Q

=

0.18m3

0.02m3/min

=9min．
答：（1）排水閥C的質量m₂為8.4kg；
（2）如果進水管中水的流量為Q=0.02m³/min，則該水箱某次排水結束到下次開始排水所用的時間為9min．

點評：此題綜合了二力平衡的條件、基米德原理、杠桿的平衡條件等多個知識點，綜合性較強，題目的難度較大．