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（1）分別求一本筆記本和一支鋼筆的售價；

（2）若學校準備購進這兩種獎品共90份，并且筆記本的數量不多于鋼筆數量的3倍，請設計出最省錢的購買方案，并說明理由．

【題目】如圖1，在中，，點D、E分別是邊的中點，連接，將繞點A按順時針方向旋轉，記旋轉角為，、所在直線相交所成的銳角為．

（1）問題發現

當時，________；________°．

（2）拓展探究

試判斷：當時，和的大小有無變化？請僅就圖2的情形給出證明．

（3）在旋轉過程中，當時，直接寫出此時的面積．

【題目】在中，，點P是平面內不與點A，C重合的任意一點，連接，將線段繞點P旋轉得到線段，連結．

（1）觀察猜想：如圖1，當時，線段繞點P順時針旋轉得到線段，則的值是________，直線與相交所成的較小角的度數是________；

（2）類比探究：如圖2，當時，線段繞點P順時針旋轉得到線段．請直接寫出與相交所成的較小角的度數，并說明與相似，求出的值；

（3）拓展延伸：當時，且點P到點C的距離為，線段繞點P逆時針旋轉得到線段，若點A，C，P在一條直線上時，求的值．

（特例感知）

（1）如圖①，是等邊三角形，繞點A作旋轉伸縮變換得，連接，

①若，則旋轉角的度數為________；

②若伸縮比為2∶1，則線段的數量關系為________；

③直線與直線所夾的銳角為________；

（探究證明）

（2）如圖②，在中，，將繞點A逆時針方向旋轉一定的角度，作旋轉伸縮變換得到，連接、，直線與直線相交于點P，請判斷的值及的度數，并說明理由；

（問題解決）

（3）在（2）的條件下，若，求當點與點P重合時，的長．

【題目】（問題背景）如圖，在中，，點D，E分別在邊上，，連接，點P為的中點．

（觀察猜想）觀察圖1，猜想線段與的數量關系是________，位置關系是________．

（2）（拓展探究）把繞點A逆時針方向旋轉到圖2的位置，（1）中的結論是否仍然成立，若成立，請證明：否則寫出新的結論并說明理由．

（3）（問題解決）把繞點A在平面內自由旋轉，若，請直接寫出線段長的取值范圍．

【題目】如圖所示，在△ABC中，，D、E分別是邊AB、BC上的動點，且，連結AD、AE，點M、N、P分別是CD、AE、AC的中點，設．

（1）觀察猜想

①在求的值時，小明運用從特殊到一般的方法，先令，解題思路如下：

如圖1，先由，得到，再由中位線的性質得到，

，進而得出△PMN為等邊三角形，∴．

②如圖2，當，仿照小明的思路求的值；

（2）探究證明

如圖3，試猜想的值是否與的度數有關，若有關，請用含的式子表示出，若無關，請說明理由；

（3）拓展應用

如圖4，，點D、E分別是射線AB、CB上的動點，且，點M、N、P分別是線段CD、AE、AC的中點，當時，請直接寫出MN的長．

●操作發現：

在等腰△ABC中，AB=AC，分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的外側作等腰直角三角形，如圖1所示，其中DF⊥AB于點F，EG⊥AC于點G，M是BC的中點，連接MD和ME，則下列結論正確的是 （填序號即可）

①AF=AG=AB；②MD=ME；③整個圖形是軸對稱圖形；④∠DAB=∠DMB．

●數學思考：

在任意△ABC中，分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的外側作等腰直角三角形，如圖2所示，M是BC的中點，連接MD和ME，則MD和ME具有怎樣的數量和位置關系？請給出證明過程；

●類比探索：

在任意△ABC中，仍分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的內側作等腰直角三角形，如圖3所示，M是BC的中點，連接MD和ME，試判斷△MED的形狀．

答： ．

【題目】如圖一，菱形與菱形的頂點重合，點在對角線上，且.

（1）問題發現：

的值為________；

（2）探究與證明：

將菱形繞點按順時針方向旋轉角（），如圖二所示，試探究線段與之間的數量關系，并說明理由；

（3）拓展與運用：

菱形在旋轉過程中，當點，，三點在一條直線上時，如圖三所示，連接并延長，交于點，若，，則的長為________.

【題目】在中，，．點P是平面內不與A，C重合的任意一點，連接，將線段繞點P逆時針旋轉得到線段，連接．點M是的中點，點N是的中點．

（1）問題發現

如圖1，當時，的值是________，直線與直線相交所成的較小角的度數是________．

（2）類比探究

如圖2，當時，請寫出的值及直線與直線相交所成的較小角的度數，并就圖2的情形說明理由．

（3）解決問題

如圖3，當時，若點E是的中點，點P在直線上，請直接寫出點B，P，D在同一條直線上時的值．

（1）若C點坐標為（0，4），求點A坐標．

（2）在（1）的條件下，在⊙M上，是否存在點P，使∠CPM=45°，若存在，求出滿足條件的點P．

（3）過C作⊙M的切線CE，過A作AN⊥CE于F，交⊙M于N，當⊙M的半徑大小發生變化時．AN的長度是否變化？若變化，求變化范圍，若不變，證明并求值．