Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC⊥AB，AD=3，BC=4，E點在AB上，且AE=2，∠CED=90°．
求CD的長．

Answer 1

【答案】分析：首先根據有兩角對應相等的三角形相似，證得△AED∽△BCE，然后根據相似三角形的對應邊成比例，求得BE的長，在過D作DF⊥BC，交BC于F，則DF∥AB，即可得四邊形ABFD為矩形，根據矩形的性質與勾股定理，即可求得CD的長．
解答：解：如圖，在△AED和△BCE中，
∵AD∥BC，BC⊥AB，
∴AD⊥AB，
∴∠A=∠B=90°，（1分）
∵∠CED=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3，（1分）
∴△AED∽△BCE，（3分）
∴
∴，
即BE=6，
過D作DF⊥BC，交BC于F，則DF∥AB，（6分）
∴四邊形ABFD為矩形，
∴DF=AB=2+6=8，FC=BC-BF=BC-AD=4-3=1，
∴CD²=DF²+FC²=8²+1=65，
∴CD=．（8分）
點評：此題考查了梯形的性質，相似三角形的判定與性質，矩形的判定與性質，以及勾股定理的應用等知識．此題綜合性較強，難度較大，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用與輔助線的作法．