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如圖1:在△ABC中,∠ABC=45°,H是高AD和BE的交點(diǎn),
(1)求證:BH=AC.
(2)如圖2,當(dāng)∠A=90°,其他條件不變,結(jié)論BH=AC還成立嗎?得出結(jié)論,不必證明.
(3)當(dāng)∠A為鈍角時,如圖3,其他條件不變,此時結(jié)論BH=AC還成立嗎?若成立,請證明,若不成立,請說明理由.

【答案】分析:(1)可通過全等三角形來證BH=AC,那么關(guān)鍵是證三角形ADC和BDH全等.已知的條件有一組直角,∠DAC和∠EBC都是∠C的余角,因此也相等,只要再證得一組對應(yīng)邊相等即可得出結(jié)論.我們發(fā)現(xiàn)∠ABC=45°,因此三角形ABD是等腰直角三角形,因此AD=BD,這樣兩三角形全等的所有條件就都湊齊了,即可得出BH=AC的結(jié)論.
(2)根據(jù)當(dāng)∠A=90°,其他條件不變,BH與AB重合,進(jìn)而得出BH=AC;
(3)同(1)的方法完全相同,也是通過證明三角形HBD和ADC全等來證得.
解答:(1)證明:∵∠DAC+∠C=90°,∠EBC+∠C=90°,
∴∠DAC=∠EBC,
∵∠ABC=45°,
∴△ABD是等腰直角三角形.
∴AD=BD.
在Rt△BDH和Rt△ADC中:

∴Rt△BDH≌Rt△ADC.(ASA)
∴BH=AC.


(2)解:當(dāng)∠A=90°,其他條件不變,結(jié)論BH=AC還成立,
此時BH與AB重合,進(jìn)而得出BH=AC;

(3)解:如圖,HB=AC仍然成立.
證明:∵∠H+∠HAE=90°,∠C+∠CAD=90°,
又∵∠HAE=∠DAC,
∴∠H=∠C.
∵∠ABC=45°,∠ADB=90°,
∴三角形ABD是等腰直角三角形.
∴AD=BD.
又∵∠BDH=∠ADC,
∴Rt△BDH≌Rt△ADC(AAS).
∴BH=AC.
點(diǎn)評:此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì).解答該題時,圍繞結(jié)論尋找全等三角形,運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)判定對應(yīng)線段相等得出是解題關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知:如圖1,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn).以BD為直徑作圓O,交邊AB于點(diǎn)P,連接PC,交AD于點(diǎn)E.
(1)求證:AD是圓O的切線;
(2)當(dāng)∠BAC=90°時,求證:
PE
CE
=
1
2

(3)如圖2,當(dāng)PC是圓O的切線,E為AD中點(diǎn),BC=8,求AD的長.精英家教網(wǎng)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

我們給出如下定義:有一組相鄰內(nèi)角相等的四邊形叫做等鄰角四邊形.請解答下列問題:
(1)寫出一個你所學(xué)過的特殊四邊形中是等鄰角四邊形的圖形的名稱;
(2)如圖1,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D在BC上,且CD=CA,點(diǎn)E、F分別為BC、AD的中點(diǎn),連接EF并延長交AB于點(diǎn)G.求證:四邊形AGEC是等鄰角四邊形;
(3)如圖2,若點(diǎn)D在△ABC的內(nèi)部,(2)中的其他條件不變,EF與CD交于點(diǎn)H,圖中是否存在等鄰角四邊形,若存在,指出是哪個四邊形,不必證明;若不存在,請說精英家教網(wǎng)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)已知:如圖1,在四邊形ABCD中,BC⊥CD,∠ACD=∠ADC.求證:AB+AC>
BC2+CD2

(2)已知:如圖2,在△ABC中,AB上的高為CD,試判斷(AC+BC)2與AB2+4CD2之間的大小關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
精英家教網(wǎng)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖1,AD和AE分別是△ABC的BC邊上的高和中線,點(diǎn)D是垂足,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),規(guī)定:λA=
DE
BD
.如圖2,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,λC=
1
3
1
3

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖1,在△ABC中,∠BAC的平分線AD與∠BCA的平分線CE交于點(diǎn)O.
(1)求證:∠AOC=90°+
12
∠ABC;
(2)當(dāng)∠ABC=90°時,且AO=3OD(如圖2),判斷線段AE,CD,AC之間的數(shù)量關(guān)系,并加以證明.

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