Question

如圖1，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，BC=DC，∠BAD=120°
（1）求證：AB=AD；
（2）如圖2，點M在邊CD上（端點除外），點N在邊BC上，∠MAN=∠BCD，連接MN
①試判斷線段BN、NM、MD之間的數量關系，并給出證明；
②若CM=4，DM=1，則CN的長為

 

（請直接寫出）

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,含30度角的直角三角形,勾股定理

專題：

分析：（1）連接AC，利用“HL”證明Rt△ABC和Rt△ADC全等，再根據全等三角形對應邊相等證明即可；
（2）①把△ADM繞點A順時針旋轉120°得到△ABH，根據旋轉的性質可得AH=AM，BN=DM，∠BAH=∠DAM，根據四邊形的內角和定理求出∠BCD=60°，然后求出求出∠NAH=60°，從而得到∠NAH=∠NAM，再利用“邊角邊”證明△AMN和△AHN全等，根據全等三角形對應邊相等可得NM=NH，然后整理即可得解；
②連接AC，過點M作ME⊥AC于E，然后求出ME、CE、AC、AD，再求出AE，然后求出∠BAN=∠EAM，然后根據兩組角對應相等，兩三角形相似求出△ABN和△AEM相似，利用相似三角形對應邊成比例列式求出BN，再根據CN=BC-BN代入數據進行計算即可得解．

解答：（1）證明：連接AC，
在Rt△ABC和Rt△ADC中，

AC=AC BC=DC

，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），
∴AB=AD；

（2）解：①如圖，把△ADM繞點A順時針旋轉120°得到△ABH，
∴AH=AM，BN=MD，∠BAH=∠DAM，
在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAD=120°，
∴∠BCD=360°-90°×2-120°=60°，
∵∠MAN=∠BCD，
∴∠NAH=∠BAH+∠BAN=∠DAM+∠BAN=∠BAD-∠MAN=120°-60°=60°，
∴∠NAH=∠NAM，
在△AMN和△AHN中，

AH=AM ∠NAH=∠NAM AN=AN

，
∴△AMN≌△AHN（SAS），
∴NM=NH，
∵NH=BN+BH=BN+DM，
∴NM=BN+DM；

②連接AC，過點M作ME⊥AC于E，
∵Rt△ABC≌Rt△ADC，∠BCD=60°，
∴∠ACD=

1

2

×60°=30°，
∴ME=

1

2

CM=

1

2

×4=2，CE=CM•cos30°=4×

3

2

=2

3

，
AC=CD÷cos30°=（4+1）÷

3

2

=

10 3

3

，
AD=CD•tan30°=（4+1）•

3

3

=

5 3

3

，
∴AE=AC-CE=

10 3

3

-2

3

=

4 3

3

，
AB=AD=

5 3

3

，
∵∠BAN+∠CAN=90°-30°=60°，
∠EAM+∠CAN=∠MAN=60°，
∴∠BAN=∠EAM，
又∵∠B=∠AEM=90°，
∴△ABN∽△AEM，
∴

BN

EM

=

AB

AE

，
即

BN

2

=

5 3 3

4 3 3

，
解得BN=

5

2

，
∴CN=BC-BN=DC-BN=（4+1）-

5

2

=

5

2

．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，勾股定理的應用，相似三角形的判定與性質，（2）①難點在于利用旋轉作出全等三角形，②難點在于作輔助線構造出相似三角形．