Question

如圖，平面直角坐標系xOy中，A，B（4，0）．將△OAB繞點O順時針旋轉a角（0°＜a＜90°）得到△OCD（O，A，B的對應點分別為O，C，D），將△OAB沿x軸負方向平移m個單位得到△EFG（m＞0，O，A，B的對應點分別為E，F，G），a，m的值恰使點C，D，F落在同一反比例函數（k≠0）的圖象上．
（1）∠AOB=______°，a=______°；
（2）求經過點A，B，F的拋物線的解析式；
（3）若（2）中拋物線的頂點為M，拋物線與直線EF的另一個交點為H，拋物線上的點P滿足以P，M，F，A為頂點的四邊形的面積與四邊形MFAH的面積相等（點P不與點H重合），請直接寫出滿足條件的點P的個數，并求位于直線EF上方的點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）由點A，由特殊角的三角函數值，即可求得∠AOB的度數，又由OA=4=OD，可知當∠BOC=30°時符合題意，則可求得α的度數；
（2）由點C的坐標，即可求得反比例函數的解析式，點F是由點A沿x軸負方向平移m個單位得到，而且點F也在反比例函數上，即可求得點F的坐標，利用待定系數法即可求得二次函數的解析式；
（3）首先求得點E的坐標，即可求得直線EF的解析式，與拋物線組成方程組，即可求得H的橫坐標，求得P點的坐標，利用三角形面積法求得其它P點的坐標即可．
解答：解：（1）∵A，
∴tan∠AOB==，
∴∠AOB=30°，
∴OA=4，
∴當∠BOC=30°時，點C坐標為（2，-2），
∴∠DOK=30°，點D的坐標為（2，-2）
∴點C與D在反比例函數上，
∴a=60°；

（2）∵A，B（4，0），
△OAB繞點O順時針旋轉a角得到△OCD，（如圖1）
∴OA=OB=OC=OD=4．
由（1）得∠BOC=30°=∠AOB．
∴點C與點A關于x軸對稱，點C的坐標為．
∵點C，D，F落在同一反比例函數（k≠0）的圖象上，
∴k=x_C•y_C=-4．
∵點F是由點A沿x軸負方向平移m個單位得到，
∴y_F=2，，
點F的坐標為（-2，2）．
∴點F與點A關于y軸對稱，
可設經過點A，B，F的拋物線的解析式為y=ax²+c．
∴，
解得，
∴所求拋物線的解析式為y=-x²+8；

（3）滿足條件的點P的個數為5個．
拋物線y=-x²+8的頂點為M（0，8）．
∵△EFG是由△OAB沿x軸負方向平移m個單位得到，
∴m=FA=4，x_E=x_O-m=-4，
∠FEG=∠AOB=30°．
∴點E的坐標為（-4，0）．
可得直線EF的解析式為y=x+4．
∵點H的橫坐標是方程的解，
整理，得．
解得．
∴點H的坐標為．
由拋物線的對稱性知符合題意的
P₁點的坐標為．
可知△AFM是等邊三角形，∠MAF=60°．
由A，M兩點的坐標分別為A，M（0，8），
可得直線AM的解析式為y=-x+8．
過點H作直線AM的平行線l，
設其解析式為y=-x+b（b≠8）．
將點H的坐標代入上式，得．
解得，直線l的解析式為．
∵直線l與拋物線的交點的橫坐標是方程
的解．
整理，得．
解得．
∴點P₂滿足，
四邊形P₂MFA的面積與四邊形MFAH的面積相等．（如圖2）
點P₂關于y軸的對稱點P₃也符合題意，
其坐標為P₃．
綜上所述，位于直線EF上方的點P的坐標分別為P₁，P₂，P₃．
點評：此題考查了旋轉、平移的性質，反比例函數與二次函數的知識，待定系數法求解析式以及求點的坐標等知識．此題綜合性很強，難度很大，注意數形結合思想的應用．