Question

△ABC中，AD是高，AD與AB的夾角為銳角α，Rt△ADC的面積和周長都為30，又x₁、x₂是關于x的方程8x²-4x-2cosα+1=0的兩個實數根，且32(x13x22+x12x23)=

9

100

，求：
（1）cosa的值．
（2）AD和AC的長（“三角函數的值”的有關“代數式”作為方程的系數）

Answer 1

分析：（1）根據一元二次方程根的判別式以及余弦的定義，得到cosα的范圍，然后利用根與系數的關系求出cosα的值．
（2）在直角三角形中根據周長和面積都是30，可以列出兩個方程，然后利用勾股定理計算能求出AD和AC的值．

解答：解：（1）因為方程有兩個實數根，所以判別式為非負數．
△=16-4×8（-2cosα+1）≥0，
得到：cosα≥

1

4

．
∵0＜cosα＜1，
∴

1

4

≤cosα＜1．
根據根與系數的關系有：
x₁+x₂=

1

2

，x₁x₂=

-2cosα+1

8

32（x₁³x₂²+x₁²x₂³）=

9

100

32（x₁x₂）²（x₁+x₂）=

9

100

32×

(-2cosα+1)2

64

×

1

2

=

9

100

整理得：-2cosα+1=±

3

5

∴cosα=

4

5

，cosα=-

1

5

（舍去）；

（2）根據直角三角形的周長和面積都是30以及勾股定理，得到：
AD+DC=30-AC  ①
AD•DC=60     ②
AD²+DC²=AC²=（AD+DC）²-2AD•DC
∴AC²=（30-AC）²-120
解得：AC=13．
∴有①②有：
AD+DC=17
AD•DC=60
解得：AD=5，DC=12，或AD=12，DC=5
故AC的長為13，AD的長為5或12．

點評：本題考查的是三角函數的定義，（1）根據三角函數的定義一元二次方程根的判別式得到cosα的取值范圍，然后利用根與系數的關系求出cosα的值．（2）根據直角三角形的周長和面積，運用勾股定理可以求出直角三角形的斜邊和直角邊．