Question

電腦CPU蕊片由一種叫“單晶硅”的材料制成，未切割前的單晶硅材料是一種薄型圓片，叫“晶圓片”．現為了生產某種CPU蕊片，需要長、寬都是1cm的正方形小硅片若干．如果晶圓片的直徑為10.05cm．問一張這種晶圓片能否切割出所需尺寸的小硅片66張？請說明你的方法和理由．（不計切割損耗）

Answer 1

解：答：可以切割出66個小正方形．
方法一：
（1）我們把10個小正方形排成一排，看成一個長條形的矩形，這個矩形剛好能放入直徑為10.05cm的圓內，如圖中矩形ABCD．
∵BC=10AB=10．
∴對角線AC²=100+1=101＜10.05²．

（2）我們在矩形ABCD的上方和下方可以分別放入9個小正方形．
∵新加入的兩排小正方形連同ABCD的一部分可看成矩形EFGH，矩形EFGH的長為9，高為3，對角線EG²=9²+3²=81+9=90＜10.05²．但是新加入的這兩排小正方形不能是每排10個，因為：
10²+3²=100+9=109＞10.05²．

（3）同理：8²+5²=64+25=89＜10.05²，
9²+5²=81+25=106＞10.05²，
∴可以在矩形EFGH的上面和下面分別再排下8個小正方形，那么現在小正方形已有了5層．

（4）再在原來的基礎上，上下再加一層，共7層，新矩形的高可以看成是7，那么新加入的這兩排，每排都可以是7個但不能是8個．
∵7²+7²=49+49=98＜10.05²，
8²+7²=64+49=113＞10.05²．

（5）在7層的基礎上，上下再加入一層，新矩形的高可以看成是9，這兩層，每排可以是4個但不能是5個．
∵4²+9²=16+81=97＜10.05²，
5²+9²=25+81=106＞10.05²，
現在總共排了9層，高度達到了9，上下各剩下約0.5cm的空間，因為矩形ABCD的位置不能調整，
故再也放不下一個小正方形了．
∴10+2×9+2×8+2×7+2×4=66（個）．

方法二：
學生也可能按下面的方法排列，只要說理清楚，評分標準參考方法一．
可以按9個正方形排成一排，疊4層，先放入圓內，
然后：（1）上下再加一層，每層8個，現在共有6層；
（2）在前面的基礎上，上下各加6個，現在共有8層；
（3）最后上下還可加一層，但每層只能是一個，共10層．
這樣共有：4×9+2×8+2×6+2×1=66（個）．
分析：可以按9個正方形排成一排，疊4層，先放入圓內，然后（1）上下再加一層，每層8個，現在共有6層．
（2）在前面的基礎上，上下各加6個，現在共有8層．
（3）最后上下還可加一層，但每層只能是一個，共10層，這樣各個層的正方形的個數就可以得到．
點評：本題是圓與正方形相結合的問題，正確理解題意是解決本題的關鍵．