Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點為坐標原點，拋物線交軸于、（左右）兩點，交軸于點，，．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點為第二象限拋物線上一點，連接、，交軸于點，過點做軸的垂線，垂足為點，過點做直線軸，在軸上方直線上取一點，連接，使，連接交軸于點，當時，求線段的長；

（3）在（2）的條件下，點為第二象限拋物線上的一點，連接，過點做于點，連接，線段、分別交線段于點、，當時，求的長度．

Answer 1

【答案】（1）；（2）3；（3）

【解析】

(1)令，求出y的值，即可求出C點坐標，根據，可求出B點坐標，把A、B點坐標代入解析式，即可求a、b的值，從而求出解析式；

（2）設，表示出，，從而求出，從而推出，通過，列出關于m的方程，解方程求出m的值，即可求出PD的長；

（3）過做交軸于，延長交延長線于，過做，連接并連延長交軸于．證明，，通過相似三角形的性質可求出，從而推出，設，通過，可求出n的值，即可求出，即可求出解析式為，將與拋物線解析式聯立，解出x的值，從而求出Q的坐標，利用勾股定理可求.

（1）對于令，

∴，

∴，

∴，

將、代入

∴，解得

∴拋物線的解析式為

（2）如圖；

設

軸

∴，，

∴

，

∴

∴

，

∴

，

∴

，

∴

∴

∴，

∴，

∴

（3）過做交軸于，延長交延長線于，過做，連接并連延長交軸于，過Q點 作QP1⊥PC，交PC于點P1.

，

又，

，

，

，

設

解得，，（舍）

，

∴解析式為

將與拋物線解析式聯立

解得，（與點重合舍掉），

∵，

∵，

∴PC∥x軸，

∵QP1⊥PC，

∴在Rt△PP1Q中，PP1= ，QP1=

利用勾股定理得：