Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△AOB是等邊三角形，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，4），點(diǎn)B在一象限，點(diǎn)P（t，0）是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP，并把△AOP繞著點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使邊AO與AB重合，連接OD，PD，得△OPD。

（1）當(dāng)t＝時(shí)，求DP的長(zhǎng)

（2）在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，依照條件所形成的△OPD面積為S

①當(dāng)t＞0時(shí)，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式

②當(dāng)t≤0時(shí)，要使s＝，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）DP=；（2）①；②.

【解析】

（1）先判斷出△ADP是等邊三角形，進(jìn)而得出DP=AP，即可得出結(jié)論；
（2）①先求出GH= 2，進(jìn)而求出DG，再得出DH，即可得出結(jié)論；
②分兩種情況，利用三角形的面積建立方程求解即可得出結(jié)論．

解：（1）∵A（0，4），
∴OA=4，
∵P（t，0），
∴OP=t，
∵△ABD是由△AOP旋轉(zhuǎn)得到，
∴△ABD≌△AOP，
∴AP=AD，∠DAB=∠PAO，
∴∠DAP=∠BAO=60°，
∴△ADP是等邊三角形，
∴DP=AP，
∵ ，
∴，
∴；

（2）①當(dāng)t＞0時(shí)，如圖1，BD=OP=t，

過點(diǎn)B，D分別作x軸的垂線，垂足于F，H，過點(diǎn)B作x軸的平行線，分別交y軸于點(diǎn)E，交DH于點(diǎn)G，
∵△OAB為等邊三角形，BE⊥y軸，
∴∠ABP=30°，AP=OP=2，
∵∠ABD=90°，
∴∠DBG=60°，
∴DG=BDsin60°= ，
∵GH=OE=2，
∴ ，
∴ ；

②當(dāng)t≤0時(shí)，分兩種情況：
∵點(diǎn)D在x軸上時(shí)，如圖2

在Rt△ABD中，，
(1)當(dāng) 時(shí)，如圖3，BD=OP=-t，，

∴，
∴，
∴或，
∴ 或，
（2）當(dāng) 時(shí)，如圖4，

BD=OP=-t，，
∴，
∴

∴或（舍）

∴ ．