Question

如圖，四邊形OABC為直角梯形，OA⊥CO，CB∥OA，OA=CO=4，BC=3．點M從O出發以每秒2個單位長度的速度向A運動；點N從B同時出發，以每秒1個單位長度的速度向C運動．其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動．過點N作NP⊥AO于點P，連接AC交NP于Q，連接MQ、BQ．
（1）求△AQM的面積S與運動時間t的函數關系式；
（2）當t為何值時，S_△BCQ：S_△AQM=3：2？
（3）是否存在某一時刻t，使得△AQM為直角三角形？若存在，求出相應的t值，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）經過t秒時可得NB=y，OM-2t．根據∠BCA=∠MAQ=45°推出QN=CN，PQ的值．再根據三角形面積公式求出S與t的函數關系式．
（2）用含t的式子先表示出S_△BCQ，S_△AQM，然后根據兩者之比為3：2可得出t的值．
（3）本題分兩種情況討論（若∠AQM=90°，PQ是等腰Rt△MQA底邊MA上的高；若∠QMA=90°，QM與QP重合）求出t值．
解答：解：（1）經過t秒時，NB=t，OM=2t，
則CN=3-t，AM=4-2t，
∵∠BCA=∠MAQ=45°，
∴QN=CN=3-t，
∴PQ=1+t，
∴S_△AMQ=AM•PQ=（4-2t）（1+t）=-t²+t+2．

（2）由題意得，CN=NQ=3-t，QP=1+t，AM=4-2t，
∴S_△BCQ=×3（3-t），S_△AQM=（4-2t）（1+t），
又∵S_△BCQ：S_△AQM=3：2，即3（3-t）：（4-2t）（1+t）=3：2，
解得：t=1，
即當t=1時，S_△BCQ：S_△AQM=3：2．

（3）存在．
設經過t秒時，NB=t，OM=2t，
則CN=3-t，AM=4-2t，
∴∠BCA=∠MAQ=45°，
①若∠AQM=90°，則PQ是等腰Rt△MQA底邊MA上的高，
∴PQ是底邊MA的中線，
∴PQ=AP=MA，
∴1+t=（4-2t），
解得：t=．
②若∠QMA=90°，此時QM與QP重合，
∴QM=QP=MA，
∴1+t=4-2t
∴t=1．
點評：此題考查了直角梯形、直角三角形的性質及相似三角形的判定及性質，屬于綜合性較強的題目，對于此類動點型題目，首先要確定符合題意的條件下動點所在的位置，然后用時間t表示出有關線段的長度，進而建立關于線段的關系式，難度較大．