Question

如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，已知直徑AD=4，∠ABC=120°，∠ACB=45°，連接OB交AC于點E．
（1）求AC的長；
（2）求CE：AE的值；
（3）在CB的延長線上取一點P，使PB=2BC，試判斷直線PA和⊙O的位置關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點O作OF⊥AC于點F．由三角形內角和定理求得△ACB的內角∠CAB=15°，根據圓周角定理知∠COB=2∠CAB=30°、∠AOB=2∠ACB=90°；然后在直角△AOF中利用余弦三角函數的定義即可求得AC的長度；
（2）連接OC，由∠ABC和∠ACB的度數求出∠AOB，∠OAC，∠OCA和∠COE的度數，利用直角三角形以及等腰三角形得到AE與EC的關系；
（3）直線PA和⊙O相切于點A．根據對應線段的比相等判定AP與OB平行，再用兩直線平行，同旁內角互補，得到∠OAP=90°，判定PA切⊙O于點A．
解答：解：（1）過點O作OF⊥AC于點F．則AF=CF（垂徑定理）；
∵∠ACB=45°，∠AOB=2∠ACB，（同弧所對的圓周角是所對的圓心角的一半），
∴∠AOB=90°；
又∵在△ABC中，∠ABC=120°，∠ACB=45°，
∴∠CAB=15°（三角形內角和定理），
∴∠COB=2∠CAB=30°（同弧所對的圓周角是所對的圓心角的一半），
∴∠AOC=120°；
∵OA=OC=2（⊙O的半徑），
∴∠OAC=∠OCA=30°（等邊對等角），
∴AF=OA•cos∠OAF=2×=，
∴AC=2AF=2；

（2）如圖：連接OC．由（1）知，∠AOB=90°，∠E0C=∠ECO=∠OAE=30°．
則在直角△AOE中，設OE=a，則AE=2a，CE=a，
∴==；

（3）直線PA和⊙O相切于點A．理由如下：
由（2）知，=．
∵PB=2BC，
∴=．
∴==，
∵∠ACB=∠ACB，
∴△CEB∽△CAP，
∴∠CBE=∠P，
∴OB∥AP，
∴∠OAP+∠AOB=180°，
∴∠OAP=90°，
∵O為半徑，
∴PA切⊙O于點A．
點評：本題考查的是圓的綜合題：在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角是所對的圓心角的一半，；垂直于弦的直徑平分弦；運用余弦的定義進行幾何計算；根據題目的條件求出相應的角的度數，利用線段的比相等判定兩直線平行，用兩直線平行同旁內角互補得到∠OAP=90°，證明AD切⊙O于點A．