Question

為把產品打入國際市場，某企業決定從下面兩個投資方案中選擇一個進行投資生產．方案一：生產甲產品，每件產品成本為a萬美元（a為常數，且3＜a＜8），每件產品銷售價為10萬美元，每年最多可生產200件；方案二：生產乙產品，每件產品成本為8萬美元，每件產品銷售價為18萬美元，每年最多可生產120件．另外，年銷售x件乙產品時需上交0.05x²萬美元的特別關稅．在不考慮其它因素的情況下：
（1）分別寫出該企業兩個投資方案的年利潤y₁、y₂與相應生產件數x（x為正整數）之間的函數關系式，并指出自變量的取值范圍；
（2）分別求出這兩個投資方案的最大年利潤；
（3）如果你是企業決策者，為了獲得最大收益，你會選擇哪個投資方案？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意得出y₁與y₂與x的函數關系式；
（2）根據a的取值范圍可知y₁隨x的增大而增大，可求出y₁的最大值．又因為-0.05＜0，可求出y₂的最大值；
（3）第三問要分兩種情況決定選擇方案一還是方案二．當2000-200a＞500以及2000-200a＜500．
解答：解：（1）由題意得：
y₁=（10-a）x（1≤x≤200，x為正整數）（2分）
y₂=10x-0.05x²（1≤x≤120，x為正整數）；（4分）

（2）①∵3＜a＜8，∴10-a＞0，
即y₁隨x的增大而增大，（5分）
∴當x=200時，y_1最大值=（10-a）×200=2000-200a（萬美元）（6分）
②y₂=-0.05（x-100）²+500（7分）
∵a=-0.05＜0，
∴x=100時，y_2最大值=500（萬美元）；（8分）

（3）∵由2000-200a＞500，
∴a＜7.5，
∴當3＜a＜7.5時，選擇方案一；（9分）
由2000-200a=500，得a=7.5，
∴當a=7.5時，選擇方案一或方案二均可；（10分）
由2000-200a＜500，得a＞7.5，
∴當8＞a＞7.5時，選擇方案二．（12分）
點評：本題考查二次函數的實際應用，借助二次函數解決實際問題．