Question

如圖，在平面直角坐標系內，四邊形AOBC是菱形，點B的坐標是（4，0），∠AOB=60°，點P從點A開始沿AC以每秒1個單位長度向點C移動，同時點Q從點O以每秒a（1≤a≤3）個單位長度的速度沿OB向右移動，設t秒后，PQ交OC于點R．
（1）設a=2，t為何值時，四邊形APQO的面積是菱形AOBC面積的；
（2）設a=2，OR=，求t的值及此時經過P、Q兩點的直線解析式；
（3）當a為何值時，以O、Q、R為頂點的三角形與以O、B、C為頂點的三角形相似（只寫答案，不必說理）．

Answer 1

【答案】分析：（1）作AD⊥OB于D，根據等量關系S_{四邊形APQO}=S_菱形AOBC列出方程，求出t的值；
（2）作CH⊥x軸于H，菱形的性質得△OQR∽△CPR，得出比例式，求出t的值及此時經過P、Q兩點的直線解析式；
（3）根據相似三角形的性質得當a=1時，△ORQ∽△OBC．
解答：解：（1）作AD⊥OB于D，
在Rt△AOD中，OA=4，∠AOD=60°，Sin60°=，，
∵S_梯形APQO=，
∴當a=2時，S_梯形APQO=．
∴由S_梯形APQO=S_菱形AOBC=．
∴．

（2）作CH⊥x軸于H，
在Rt△CBH中，BC=OB=4，∠CBH=∠AOB=60°，
∴cos60°=．
∴BH=4×=2，sin60°=．
∴CH=4×．
在Rt△OCH中，由勾股定理得，OC=，
∵AC∥OB，得△OQR∽△CPR，
∴．
另一方面，
當a=2時，OQ=at=2t，PC=4-t，RC=OC-OR=，
∴=，
∴t=1，解得P（3，2），Q（2，0）．
∴解析式為．

（3）當a=1時，△ORQ∽△OBC，理由如下：
∵AC∥OB，得△OQR∽△CPR，得，
∴OR=．
∴當，∠ROQ=∠COB得△OQR∽△OBC．
此時，得，
所以at-t=0，t（a-1）=0，
∴t=0（舍去）．
∵a-1=0，
∴a=1．
當，∠ROQ=∠COB得△OQR∽△OCB．
即，
解得：at-t=8，
a=1+．
點評：本題考查了一次函數和實際相結合的問題，注意菱形，梯形的性質及相似三角形的性質的應用．