Question

如圖，已知拋物線經過原點O和x軸上另一點A（4，0），頂點的縱坐標是-1，拋物線的對稱軸與x軸交于點C，直線y=-2x-1與拋物線交于一點B（-2，m），且與y軸、拋物線的對稱軸分別交于點D、E．
（1）求m的值與拋物線的解析式．
（2）試判斷△BCE的形狀并說明理由．
（3）若P（x，y）是該拋物線上的一個動點，是否存在這樣的點P，使得PB=PE？若存在，試求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，試說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據直線上點的性質將B點代入直線解析式得出m的值，即可得出二次函數頂點坐標，利用頂點式求出即可；
（2）首先求出E點坐標，再求出CG=3，BG=4，以及BC的長，即可得出△BCE的形狀；
（3）作EH⊥y軸于H，可證明△DHE≌△DKB，求出直線CD的解析式，再與二次函數解析式聯立求出交點坐標即可．

解答：解：（1）∵點B（-2，m）在直線y=-2x-1上，
∴m=-2×（-2）-1=3，
由對稱性知拋物線的頂點坐標為（2，-1），
∴設拋物線的解析式為：y=a（x-2）²-1，
將點O（0，0）代入解析式得：a=

1

4

，
∴拋物線的解析式為：y=

1

4

(x-2)2-1；

（2）△BCE是等腰三角形，
拋物線y=

1

4

(x-2)2-1的對稱軸是x=2，
∴直線y=-2x-1與直線x=2的交點坐標是E（2，-5），
∴CE=5，
如圖，作BG⊥直線x=2于點G，則CG=3，BG=4，
在Rt△BCG中，由勾股定理得：BC=

32+42

=5，
∴BC=CE，△BCE是等腰三角形．

（3）存在，
作EH⊥y軸于H，
∵∠BKD=∠DHE，
∠BDK=∠HDE，
BK=HE=2，
∴△DHE≌△DKB，
∴DB=DE，又CB=CE，
∴CD是線段BE的垂直平分線，
由PB=PE，∴點P在直線CD上，
∴符合條件的點P是直線CD與拋物線的交點
設直線CD的解析式為y=kx+b，
將點D（0，-1），C（2，0）分別代入得：

b=-1 2k+b=0

，
解得：k=

1

2

，b=-1，
∴直線CD的解析式為y=

1

2

x-1；
解方程組：

y= 1 2 x-1 y= 1 4 (x-2)2-1

，
得：

x1=3+ 5 y1= 1+ 5 2

，

x2=3- 5 y2= 1- 5 2

，
∴符合條件的點P的坐標為（3+

5

，

1+ 5

2

）或（3-

5

，

1- 5

2

）．

點評：此題主要考查了待定系數法求以一次函數解析式以及頂點式求二次函數解析式以及函數交點坐標求法等知識，結合數形結合熟練應用函數交點求法是解決問題的關鍵．