Question

（2007•蕪湖）已知多邊形ABDEC是由邊長為2的等邊三角形ABC和正方形BDEC組成，一圓過A、D、E三點，求該圓半徑的長．

Answer 1

【答案】分析：作AF⊥BC，垂足為F，并延長交DE于H點．根據其軸對稱性，則圓心必定在AH上．設其圓心是O，連接OD，OE．根據等邊三角形的性質和正方形的性質，可以求得AH，DH的長，設圓的半徑是r．在直角三角形BOH中，根據勾股定理列方程求解．
解答：解：
如圖2，作AF⊥BC，垂足為F，并延長AF交DE于H點．（1分）
∵△ABC為等邊三角形，
∴AF垂直平分BC，
∵四邊形BDEC為正方形，
∴AH垂直平分正方形的邊DE．（3分）
又∵DE是圓的弦，
∴AH必過圓心，記圓心為O點，并設⊙O的半徑為r．
在Rt△ABF中，
∵∠BAF=30°，
∴AF=AB•cos30°=2×．
∴OH=AF+FH-OA=-r．（5分）
在Rt△ODH中，OH²+DH²=OD²．
∴（2+-r）²+1²=r²．
解得r=2．（7分）
∴該圓的半徑長為2．（8分）
點評：熟練運用等邊三角形的性質、正方形的性質以及勾股定理．