Question

【題目】如圖，直線m：y＝kx（k＞0）與直線n：相交于點C，點A、B為直線n與坐標軸的交點，∠COA＝60°，點P從O點出發沿線段OC向點C勻速運動，速度為每秒1個單位，同時點Q從點A出發沿線段AO向點O勻速運動，速度為每秒2個單位，設運動時間為t秒．

（1）k＝　 　；

（2）記△POQ的面積為S，求t為何值時S取得最大值；

（3）當△POQ的面積最大時，以PQ為直徑的圓與直線n有怎樣的位置關系，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）k＝；（2）當t＝時，S有最大值；（3）直線AB與以PQ為直徑的圓O相離，理由詳見解析．

【解析】

（1）依據k＝tan∠COA進行求解即可；

（2）如圖1所示：過點P作PD⊥OA，垂足為D．由銳角三角函數的定義和特殊銳角三角函數值可求得PD＝ ，然后利用三角形的面積公式列出關系式，最后利用配方法求得三角形面積最大時t的值即可；

（3）如圖2所示：過點P作PD⊥OA垂足為D，過圓心O作OE⊥AB，垂足為E．首先證明四邊形，四邊形OPCE為矩形，然后求得d和r的值即可．

（1）k＝tan∠COA＝tan60°＝．

（2）如圖1所示：過點P作PD⊥OA，垂足為D．

令直線n：y＝﹣ x+2的y＝0得：﹣x+2＝0，解得x＝6，

∴OA＝6．

∵∠COA＝60°，PD⊥OA，

∴ ，即．

∴PD＝ ．

∴當t＝ 時，S有最大值．

（3）如圖2所示：過點P作PD⊥OA垂足為D，過圓心O作OE⊥AB，垂足為E．

令直線n：y＝﹣ x+2的x＝0得：y＝2 ．

∴OB＝2．

∵tan∠BAO＝ ，

∴∠BAO＝30°．

∴∠ABO＝60°．

∴OC＝OBsin60°＝2 ＝3．

∵∠COA＝60°，

∴∠BOC＝30°．

∴∠BOC+∠OBC＝90°．

∴∠OCA＝90°．

當t＝時，OD＝ ＝，PD＝．DQ＝3﹣ ＝ ．

∴tan∠PQO＝．

∴∠PQO＝30°．

∴∠BAO＝∠PQO．

∴PQ∥AB，

∴∠CPQ+∠PCA＝180°．

∴∠CPQ＝180°﹣90°＝90°．

∴∠ECP＝∠CPO＝∠OEC＝90°．

∴四邊形OPCE為矩形．

∴d＝OE＝PC＝OC﹣OP＝3﹣＝．

PQ＝OQsin60°＝3×．

∴r＝PO＝．

∵d＞r．

∴直線AB與以PQ為直徑的圓O相離．