Question

14、如圖，四邊形ABCD為圓內接四邊形，對角線AC、BD交于點E，延長DA、CB交于點F，且∠CAD=60°，DC=DE．
求證：
（1）AB=AF；
（2）A為△BEF的外心（即△BEF外接圓的圓心）．

Answer 1

分析：（1）根據圓內接四邊形的性質和三角形的內角和定理進行證明；
（2）根據三角形的外心到三角形的三個頂點的距離相等的性質只需證明AB=AF=AE，根據等腰三角形的性質和判定進行證明．

解答：證明：（1）∠ABF=∠ADC=120°-∠ACD=120°-∠DEC
=120°-（60°+∠ADE）=60°-∠ADE，（4分）
而∠F=60°-∠ACF，（6分）
因為∠ACF=∠ADE，（7分）
所以∠ABF=∠F，所以AB=AF．（8分）

（2）四邊形ABCD內接于圓，所以∠ABD=∠ACD，（10分）
又DE=DC，所以∠DCE=∠DEC=∠AEB，（12分）
所以∠ABD=∠AEB，
所以AB=AE．（14分）
所以AB=AF=AE，即A是三角形BEF的外心．（16分）

點評：綜合運用了圓內接四邊形的性質、三角形的內角和定理以及三角形的外心的性質．