Question

已知拋物線y＝－x²＋2mx－m²＋2的頂點A在第一象限，過點A作AB⊥y軸于點B，C是線段AB上一點(不與點A、B重合)，過點C作CD⊥x軸于點D并交拋物線于點P．

(1)若點C(1，a)是線段AB的中點，求點P的坐標；

(2)若直線AP交y軸的正半軸于點E，且AC＝CP，求△OEP的面積S的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解答：解：(1)依題意得頂點A的坐標為(2，a)， 　　設P(1，n)據x＝－，得A點的橫坐標為m，即m＝2， 　　所以y＝x2＋4x－2，把P點的坐標代入得n＝1， 　　即P點的坐標為(1，1) 　　(2)把拋物線化為頂點式：y＝－(x－m)2＋2， 　　可知A(m，2)，設C(n，2)， 　　把n代入y＝－(x－m)2＋2得y＝－(n－m)2＋2， 　　所以P(n，－(n－m)2＋2) 　　∵AC＝CP 　　∴m－n＝2＋(m－n)2－2， 　　即m－n＝(m－n)2， 　　∴m－n＝0或m－n＝1， 　　又∵C點不與端點A、B重合 　　∴m≠n， 　　即m－n＝1， 　　則A(m，2)，P(m－1，1) 　　由AC＝CP可得BE＝AB 　　∵OB＝2 　　∴OE＝2－m， 　　∴△OPE的面積S＝(2－m)(m－1)＝－(m－)2＋(1＜m＜2)， 　　∴0＜S＜． 　　點評：本題考查了二次函數的應用，解題的關鍵是正確的用字母表示出點的坐標，并利用題目的已知條件得到有關的方程或不等式，從而求得未知數的值或取值范圍． 　　分析：(1)根據題意得頂點A的坐標為(2，a)，然后設P(1，n)代入x＝－，得A點的橫坐標為m，求得函數的解析式，把P點的坐標代入得n＝1，從而求得函數的解析式； 　　(2)把拋物線化為頂點式：y＝－(x－m)2＋2，求得其頂點坐標，設C(n，2)，然后表示出P(n，－(n－m)2＋2)根據AC＝CP求得m－n的值，然后表示出OB、OE的值從而表示出△OPE的面積，進而求得面積的取值范圍．