Question

（2010•本溪）如圖a，∠EBF=90°，請按下列要求準確畫圖：
1：在射線BE、BF上分別取點A、C，使BC＜AB＜2BC，連接AC得直角△ABC；
2：在AB邊上取一點M，使AM=BC，在射線CB邊上取一點N，使CN=BM，直線AN、CM相交于點P．
（1）請用量角器度量∠APM的度數為______；（精確到1°）
（2）請用說理的方法求出∠APM的度數；
（3）若將①中的條件“BC＜AB＜2BC”改為“AB＞2BC”，其他條件不變，你能自己在圖b中畫出圖形，求出∠APM的度數嗎？

Answer 1

【答案】分析：（1）用量角器量即可．
（2）根據題意畫出圖形，過點A作AK⊥AB，且AK=CN，連接CK、MK，求證△KMC是等腰直角三角形即可．
（3）過點A作AK⊥AB，且AK=CN，連接CK、MK，則同（1）可證出△KMC是等腰直角三角形，∠MCK=45°，由CK∥AN可知∠APM+∠MCK=180°，故∠APM=135°．
解答：解：（1）45°．

（2）過點A作AK⊥AB，且AK=CN，連接CK、MK，
∴四邊形ANCK是平行四邊形．
∵CN=MB，∴AK=MB，
∵AM=CB，∠B=∠KAM，
∴△AKM≌△BMC．
∴∠AKM=∠BMC，KM=MC．
∵∠AKM+∠AMK=90°，
∴∠BMC+∠AMK=90°．
∴∠KMC=90°．
∴△KMC是等腰直角三角形．
∴∠MCK=45°．
∵CK∥AN，
∴∠APM=∠MCK=45°．

（3）過點A作AK⊥AB，且AK=CN，連接CK、MK．
∴四邊形ANCK是平行四邊形．
∵CN=MB，∴AK=MB，
∵AM=CB，∠B=∠KAM，
∴△AKM≌△BMC．
∴∠AKM=∠BMC，KM=MC．
∵∠AKM+∠AMK=90°，
∴∠BMC+∠AMK=90°．
∴∠KMC=90°．
∴△KMC是等腰直角三角形．
∴∠MCK=45°．
∵CK∥AN，
∴∠APM+∠MCK=180°．
∴∠APM=135°．
點評：本題很復雜，解答此題的關鍵是根據題意畫出圖形，作出輔助線，根據平行線的性質，全等三角形及直角三角形的判定定理解答．是中學階段的重點．