Question

如圖，一次函數y=ax+b的圖象與反比例函數y=

k

x

的圖象交于A、B兩點，與x軸交于點C．已知OA=

5

，tan∠AOC=

1

2

，點B的坐標為（

1

2

，m）．
①求反比例函數和一次函數的解析式；
②利用圖象，寫出一次函數值大于反比例函數值的x的取值范圍；
③求△AOB的面積．

Answer 1

分析：（1）過A作AE⊥x軸于E點，根據正切的定義得到

AE

OE

=

1

2

，即OE=2AE，然后根據勾股定理有OA²=OE²+AE²，而OA=

5

，可求得OE=1，從而確定A點坐標為（-2，1），把A（-2，1）代入反比例函數y=

k

x

求出k，即確定反比例函數的解析式；接著把B（

1

2

，m）代入反比例函數解析式中確定B點坐標，然后利用待定系數法確定一次函數的解析式；
（2）觀察圖形得到當x＞-2或0＜x＜

1

2

時，一次函數值的圖形在反比例函數圖形的上方；
（3）先確定D點坐標，然后利用S_△AOB=S_△AOD+S_△BOD和三角形面積公式進行計算即可．

解答：解：（1）如圖，過A作AE⊥x軸于E點，
在Rt△OAE中，tan∠AOC=

1

2

，
∴

AE

OE

=

1

2

，即OE=2AE，
∵OA²=OE²+AE²，OA=

5

，
∴4AE²+AE²=5，解得AE=1，
∴OE=2，
∴A點坐標為（-2，1），
把A（-2，1）代入反比例函數y=

k

x

得k=-2，
∴反比例函數的解析式為y=-

2

x

；
把B（

1

2

，m）代入y=-

2

x

得

1

2

m=-2，解得m=-4，
∴點B的坐標為（

1

2

，-4），
把A（-2，1）、B（

1

2

，-4）分別代入y=ax+b得，-2a+b=1，

1

2

a+b=-4，解得a=-2，b=-3，
∴一次函數的解析式為y=-2x-3；

（2）一次函數值大于反比例函數值的x的取值范圍為x＞-2或0＜x＜

1

2

；

（3）對于y=-2x-3，令x=0，則y=-3，
∴D點坐標為（0，-3），
∴S_△AOB=S_△AOD+S_△BOD=

1

2

×3×2+

1

2

×3×

1

2

=

15

4

．

點評：本題考查了反比例函數的綜合題：先根據條件確定點的坐標，然后利用待定系數法確定反比例函數的解析式，再運用反比例函數的性質解決問題．