Question

【題目】如圖，已知，以為直徑的交邊于點(diǎn)，與相切．

（1）若，求證：；

（2）點(diǎn)是上一點(diǎn)，點(diǎn)兩點(diǎn)在的異側(cè)．若，，，求半徑的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）5

【解析】

（1）連接CE，依據(jù)題意和圓周角定理求得△ABC是等腰直角三角形，然后根據(jù)圓周角定理和等腰三角形三線合一的性質(zhì)求解即可；

（2）連接DO并延長(zhǎng)，交CE于點(diǎn)M，交于點(diǎn)G，利用三角形外角的性質(zhì)求得，從而判定DG∥AE，得到，從而根據(jù)垂徑定理可得EM=CM，根據(jù)三角形中位線定理可求，然后設(shè)圓的半徑為x，根據(jù)勾股定理列方程求解即可．

解：連接CE

∵與相切

∴∠ACB=90°

∵

∴

∴CA=CB

又∵以為直徑的交邊于點(diǎn)，

∴∠CEA=90°

∴根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知，CE是底邊AB的中線

∴AE=BE

（2）連接DO并延長(zhǎng)，交CE于點(diǎn)M，交于點(diǎn)G

由（1）可知，∠CEA=90°

∵

∴DG∥AE

∴

∴EM=CM

∴在△AEC中，

設(shè)圓的半徑為x，在Rt△OMC中，

在Rt△DMC中，

∴，解得或（負(fù)值舍去）

∴半徑的長(zhǎng)為5．