Question

【題目】如圖，拋物線的圖象經過點，對稱軸為直線，一次函數的圖象經過點，交軸于點，交拋物線于另一點，點、位于點的同側．

求拋物線的解析式；

若，求一次函數的解析式；

在的條件下，當時，拋物線的對稱軸上是否存在點，使得同時與軸和直線都相切，如果存在，請求出點的坐標，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1);(2)或;(3)見解析.

【解析】

（1）根據拋物線的對稱軸為x=1可求出m的值，再將點A的坐標代入拋物線的解析式中求出n值，此題得解；
（2）根據P、A、B三點共線以及PA：PB=3：1結合點A的坐標即可得出點B的縱坐標，將其代入拋物線解析式中即可求出點B的坐標，再根據點A、B的坐標利用待定系數法即可求出直線AP的解析式；
（3）假設存在，設出點C的坐標，依照題意畫出圖形，根據角的計算找出∠DCF=∠EPF，再通過解直角三角形找出關于r的一元一次方程，解方程求出r值，將其代入點C的坐標中即可得出結論．

解：∵拋物線的對稱軸為，
∴，解得：．
將點代入中，
，解得：，
∴拋物線的解析式為．

∵、、三點共線，，且點、位于點的同側，
∴，
又∵點為軸上的點，點，
∴．
當時，有，
解得：，，
∴點的坐標為或．
將點、代入中，
，解得：；
將點、代入中，
，解得：．
∴一次函數的解析式或．

假設存在，設點的坐標為．
∵，
∴直線的解析式為．
當時，，

解得：，
∴點的坐標為，
當時，，
∴點的坐標為．
令與直線的切點為，與軸的切點為，拋物線的對稱軸與直線的交點為，連接，如圖所示．
∵，，
∴．
在中，，，
∴，
解得：或．
故當時，拋物線的對稱軸上存在點，使得同時與軸和直線都相切，點的坐標為或．