Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=ax2+bx﹣5與x軸交于A（﹣1，0），B（5，0）兩點，與y軸交于點C．

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）如圖2，CE∥x軸與拋物線相交于點E，點H是直線CE下方拋物線上的動點，過點H且與y軸平行的直線與BC，CE分別相交于點F，G，試探究當點H運動到何處時，四邊形CHEF的面積最大，求點H的坐標；

（3）若點K為拋物線的頂點，點M（4，m）是該拋物線上的一點，在x軸，y軸上分別找點P，Q，使四邊形PQKM的周長最小，求出點P，Q的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣4x﹣5（2）（，﹣）；（3）P（，0），Q（0，﹣）

【解析】整體分析：

（1）用待定系數法求拋物線的解析式；（2）設H(t，t2-4t-5)，用含t的代數式表示FH的長，求出CE的長，用對角線互相垂直的四邊形的面積等于對角線積的一半，把四邊形CHEF的面積表示為關于t的二次函數，用二次函數的性質求解；（3）作點M，K關于x軸，y軸對稱點M′，K′，連接M′K′，分別交x軸，y軸于點P，Q，求出M′K′的解析式，即可得到點P，Q的坐標.

解：（1）把A(-1，0)，B(5，0)代入y=ax2+bx-5得

，解得

∴二次函數的表達式為y=x2-4x-5

（2）如圖2，設H(t，t2-4t-5)，

∵CE||x軸，∴-5=x2-4x-5，解得，x1=0，x2=4，

∴E(4，-5)，∴CE=4，

∵B(5，0)，C(0，-5)，

∴，

∴直線BC的解析式為y2=x-5，∴F(t，t-5)，

∵CE||x軸，HF||y軸，∴CE⊥HF，

∴四邊形CHEF的面積=)2+，

∴H(.

（3）如圖3，

∵點K為頂點，∴K(2，-9)，

∴點K關于y軸的對稱點K′的坐標為(-2，-9)．

∵M(4，m)，∴M(4，-5)，

∴點M關于x軸的對稱點M′的坐標為(4，5)．

設直線K′M′的解析式為y3=a3x+b3，

，∴

∴直線BC的解析式為y3=，

∴P，Q的坐標分別為P(，0)，Q(0，-.