Question

如圖，己知⊙O_l與⊙O₂外切于點P，A在⊙O_l上，AC切⊙O₂于點C，交⊙O₁于點B，AP的延長線交⊙O₂于點D．
（1）求證：PC平分∠BPD；
（2）求證：PC²=PB•PD；
（3）當⊙O₁、⊙O₂的半徑分別為2cm、3cm時，sin∠BAP的值是多少？當⊙O₁、⊙O₂的半徑分別為4cm、6cm時，sin∠BAP的值是多少？分析sin∠BAP值的變化，你能發現什么規律？請嘗試證明或否定你的猜想．

Answer 1

分析：（1）由∠ABP=∠AC⊙O₂=90°?PB∥O₂C?∠BPC=∠PC⊙O₂，O₂C=O₂P?∠O₂PC=∠O₂CP，∠O₂PC=BPC，
（2）求出△PBC∽△PCD即可得．
（3）由圖可知sin∠BAP=

CO2

AP+PO2

，則當⊙O₁、⊙O₂的半徑分別為2cm、3cm時，當⊙O₁、⊙O₂的半徑分別為4cm、6cm時，sin∠BAP的值均可求．由此易得sin∠BAP=

CO2

AO2

=

R

2r+R

．

解答：（1）證明：連接CO₂、CD，
∵AC是⊙O₂的切線，AP是圓O₁的直徑，
∴∠ABP=∠AC⊙O₂=90°，∴PB∥O₂C．
∴∠BPC=∠PCO₂，
∵O₂C=O₂P，∴∠O₂PC=∠O₂CP，
∴∠O₂PC=BPC，即PC平分∠BPD．

（2）證明：∵PC平分∠BPD，∠PBC=∠PCD，
∴△PBC∽△PCD．
∴

PB

PC

=

PC

PD

．
∴PC²=PB•PD．

（3）解：當⊙O₁與⊙O₂的半徑分別為2cm、3cm時，sin∠BAP=

3

7

當⊙O_l與⊙O₂的半徑分別為4cm、6cm時，sin∠BAP=

3

7

．
當⊙O_l與⊙O₂的半徑之比為定值時，sin∠BAP的值唯一確定，
顯然

R

r

的值唯一確定sin∠BAP的值．
sin∠BAP=

CO2

AO2

=

R

2r+R

．

點評：本題利用了切線的性質，直徑對的圓周角是直徑，平行線的判定和性質，等邊對等角，正弦的概念求解．