Question

如圖，直線AC切⊙O于點A，點B在⊙O上，且AB=AC=AO，OC、BC分別交⊙O于點E、F．求證：EF是圓內接正二十四邊形的一邊．

Answer 1

分析：首先利用切線的性質求出∠AOC=45°，進而得出∠ABC=

1

2

（180°-150°）=15°，以及∠EOF=15°，即可得出EF是圓內接正二十四邊形的一邊．

解答：證明：∵AC切⊙O于點A，
∴∠CAO=90°，
∵AC=OA，
∴∠AOC=45°，
∵AB=OA，OB=OA，
∴∠BAO=60°，
∠BAC=60°+90°=150°，
∵AC=AB，
∴∠ABC=

1

2

（180°-150°）=15°，
∵∠AOF是

AF

所對圓心角，∠ABF是

AF

所對圓周角，
∴∠AOF=30°，
∴∠EOF=15°，
∵

360°

15°

=24，
∴EF是圓內接正二十四邊形的一邊．

點評：此題主要考查了正多邊形和圓的性質以及切線的性質和圓周角定理等知識，根據已知得出∠EOF的度數是解題關鍵．