Question

如圖，在直角坐標系內有點P（1，1）、點C（1，3）和二次函數y=-x²．
（1）若二次函數y=-x²的圖象經過平移后以C為頂點，請寫出平移后的拋物線的解析式及一種平移的方法；
（2）若（1）中平移后的拋物線與x軸交于點A、點B（A點在B點的左側），求cos∠PBO的值；
（3）在拋物線上是否存在一點D，使線段OC與PD互相平分？若存在，求出D點的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據平移只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀與大小，利用頂點式解析式寫出平移后的拋物線解析式即可，根據頂點從坐標原點到點C寫出平移方法；
（2）令y=0，求出點A、B的橫坐標，過點P作PM⊥x軸于點M，從而求出BM、PM的長度，再根據勾股定理求出PB的長度，最后根據余弦的定義列式求解即可；
（3）存在．根據互相垂直平分的四邊形是平行四邊形，可以證明當點D為拋物線與y軸的交點時，四邊形OPCD正好是平行四邊形．
解答：解：（1）平移后以C為頂點的點拋物線解析式為y=-（x-1）²+3，
所以一種移動方式是將y=-x²向右平移一個單位長度，再向上平移三個單位長度；

（2）由（1）知移動后的拋物線解析式為y=-（x-1）²+3=x²+2x+2．
令-x²+2x+2=0，
解出x₁=1-，x₂=1+，
連接PB，過點P作PM⊥x軸于點M，
∴BM=，PM=1，
根據勾股定理，PB===2，
∴cos∠PBO==；

（3）存在這樣的點D．
理由如下：欲使OC與PD互相平分，
只要使四邊形OPCD為平行四邊形，
由題設知，PC∥OD，
又PC=2，PC∥y軸，
∵點D在y軸上，
∴OD=2，
即D（0，2）．
又點D（0，2）在拋物線y=-x²+2x+2上，
故存在點D（0，2），
即OD與PC平行且相等，使線段OC與PD相互平分．
點評：本題綜合考查了二次函數的問題，有平移變換的性質，拋物線與y軸的交點問題，勾股定理，余弦的定義，平行四邊形的性質，綜合性較強但難度不大，計算后利用數據的關系得解比較巧妙．