Question

如圖所示，A，E，F，C在一條直線上，AE=CF，過E，F分別作DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分別為E、F，且AB=CD
（1）△ABF與△CDE全等嗎？為什么？
（2）求證：BD平分EF．

Answer 1

分析：（1）求出AF=CE，∠BFA=∠DEC=90°，根據HL證出Rt△ABF≌Rt∠CDE即可；
（2）求出BF=DE，根據AAS證出△BFG≌△DEG即可．

解答：（1）解：△ABF≌△CDE，
理由是：∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
∴AF=CE，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠BFA=∠DEC=90°，
在Rt△ABF和Rt∠CDE中，

AB=CD AF=CE

，
∴Rt△ABF≌Rt∠CDE（HL）．

（2）證明：∵Rt△ABF≌Rt∠CDE，
∴BF=DE，
在△BFG和△DEG中，

∠BGF=∠DGE ∠BFG=∠DEG BF=DE

，
∴△BFG≌△DEG（AAS），
∴EG=FG，
即BD平分EF．

點評：本題考查了等邊三角形的性質，三角形外角性質，全等三角形的性質和判定的應用，注意：直角三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．全等三角形的對應邊相等，對應角相等．