Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c與y軸正半軸交于點C，與x軸交于點A（1，0）、B（4，0），∠OCA=∠OBC．
（1）拋物線的解析式為

y=

1

2

x²-

5

2

x+2

；
（2）是否存在這樣的點M，使得以點M、A、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，則點M的坐標為

（3，2）、（-3，2）、（5，-2）

；若不存在，則理由為：

存在

；
（3）若⊙P過點A、B、C三點，求圓心P的坐標．

Answer 1

分析：（1）要求拋物線的解析式，由題意知只需要求出點C的坐標即可，而點C的坐標可以根據△AOC∽△COB求得；
（2）根據題意畫出圖形，由平行四邊形的性質兩組對邊分別平行且相等來確定點M的坐標；
（3）根據拋物線的對稱性可知⊙P的圓心在對稱軸上，再根據三角形外接圓的圓心到三角形三個頂點的距離相等得知PC=PA，根據兩點間的距離公式可以求出點P的坐標．

解答：解：（1））∵∠AOC=∠COB，∠OCA=∠OBC，
∴△AOC∽△COB，
∴OC²=AO•BO=1×4=4，
∴OC=2，
∴C（0，2），
由題意，設拋物線解析式y=a（x-1）（x-4），
∴a（0-1）（0-4）=0，
∴a=

1

2

，
∴拋物線的解析式為：y=

1

2

x²-

5

2

x+2；

（2）①當如圖1時，
∵C（0，2），A（1，0），B（4，0），
∴AB=3，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴P（3，2）；
②當如圖2所示時，同①可知，P（-3，2）；
③當如圖3所示時，過點P作PD⊥x軸，
∵四邊形ACBP是平行四邊形，
∴BD=OA=1，PD=OC=2，
∴OD=4+1=5，
∴P（5，-2）；
綜上所述，點M坐標為（3，2）、（-3，2）、（5，-2）；

（3）∵A（1，0），B（4，0），
∴AB中點坐標為（

5

2

，0），
∵⊙P經過點A、B，
∴P在線段AB的中垂線上，可設P（

5

2

，y），
又∵⊙P經過點C，
∴PC=PA，
∴（

5

2

-0）²+（y-2）²=（

5

2

-1）²+（y-0）²，解得y=2，
∴圓心P的坐標為（

5

2

，2）．
故答案為：（1）：y=

1

2

x²-

5

2

x+2；
（2）（3，2）、（-3，2）、（5，-2）；存在．

點評：本題考查的是二次函數綜合題，要求學生能根據已知三點坐標求二次函數的解析式，把平行四邊形的性質和平面直角坐標系點的坐標結合起來，在求⊙P的坐標時運用了拋物線的性質，是一道綜合性較強的題目．