Question

如圖，△ABC為等邊三角形，以AB為邊向形外作△ABD，使∠ADB=120°，再以點C為旋轉中心把△CBD旋轉到△CAE，則下列結論：①D、A、E三點共線；②DC平分∠BDA；③∠E=∠BAC；④DC=DB+DA，其中正確的有（ ）

A．1個
B．2個
C．3個
D．4個

Answer 1

【答案】分析：（1）設∠1=x度，把∠2=（60-x）度，∠DBC=（x+60）度，∠4=（x+60）度，∠3=60°加起來等于180度，即可證明D、A、E三點共線；
（2）根據△BCD繞著點C按順時針方向旋轉60°得到△ACE，判斷出△CDE為等邊三角形，求出∠BDC=∠E=60°，∠CDA=120°-60°=60°，可知DC平分∠BDA；
（3）由②可知，∠BAC=60°，∠E=60°，從而得到∠E=∠BAC．
（4）由旋轉可知AE=BD，又∠DAE=180°，DE=AE+AD．而△CDE為等邊三角形，DC=DE=DB+BA．
解答：解：①設∠1=x度，則∠2=（60-x）度，∠DBC=（x+60）度，故∠4=（x+60）度，
∴∠2+∠3+∠4=60-x+60+x+60=180度，
∴D、A、E三點共線；

②∵△BCD繞著點C按順時針方向旋轉60°得到△ACE，
∴CD=CE，∠DCE=60°，
∴△CDE為等邊三角形，
∴∠E=60°，
∴∠BDC=∠E=60°，
∴∠CDA=120°-60°=60°，
∴DC平分∠BDA；

③∵∠BAC=60°，
∠E=60°，
∴∠E=∠BAC．

④由旋轉可知AE=BD，
又∵∠DAE=180°，
∴DE=AE+AD．
∵△CDE為等邊三角形，
∴DC=DB+BA．
點評：本題考查了旋轉的性質、全等三角形的判定與性質、等邊三角形的性質、圓周角定理等相關知識，要注意旋轉不變性，找到變化過程中的不變量．