Question

如圖所示，AB是⊙O的直徑，AD是弦，∠DBC=∠A．
（1）求證：BC與⊙O相切；
（2）若OC∥AD，OC交BD于點E，BD=6，CE=4，求AD的長．

Answer 1

（1）證明：∵AB是直徑，
∴∠D=90°，AD⊥BD．
∴∠A+∠ABD=90°．
又∵∠DBC=∠A，
∴∠DBC+∠ABD=90°，
即∠ABC=90°．
∴OB⊥BC．
∵OB是半徑，
∴BC與⊙O相切．

（2）解：∵OC∥AD，∠D=90°，
∴∠OEB=∠D=90°．
∴OC⊥BD．
∴BE=DE=BD=3．
∵BE⊥OC，∠OBC=90°，
∴△OBE∽△BCE．
∴即，
∴．
∵OA=OB，DE=EB，
∴AD=2EO=．
分析：（1）要證BC與⊙O相切；只需證明OB⊥BC即可，根據角之間的互余關系易得證明；
（2）根據平行線的性質可得OC⊥BD，進而可得△OBE∽△BCE，可得出比例關系式，代入數據即可得到答案．
點評：本題考查切線的判定及線段長度的求法，要求學生掌握常見的解題方法，并能結合圖形選擇簡單的方法解題．