Question

如圖1，一副直角三角板滿足AB=BC，AC=DE，∠ABC=∠DEF=90°，∠EDF=30°將三角板DEF的直角頂點E放置于三角板ABC的斜邊AC上，再將三角板DEF繞點E旋轉，并使邊DE與邊AB交于點P，邊EF與邊BC于點Q
（1）如圖2，當

CE

EA

=1時，EP與EQ滿足怎樣的數量關系？并給出證明．
（2）如圖3，當

CE

EA

=2時
①EP與EQ滿足怎樣的數量關系？，并說明理由．
②在旋轉過程中，連接PQ，若AC=30cm，設EQ的長為xcm，△EPQ的面積為S（cm²），求 S關于x的函數關系，并求出x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）連接BE，根據已知條件得到E是AC的中點，根據等腰直角三角形的性質可以證明DE=CE，∠PBE=∠C，根據等角的余角相等可以證明∠BEP=∠CEQ，即可得到全等三角形，從而證明結論；
（2）①作EM⊥AB于點M，EN⊥BC于點N，證明△MEP∽△NEQ，發現EP：EQ=ME-NE=AE：CE，繼而得出結果；
②設EQ=x，根據上述結論，可用x表示出S，確定EQ的最大值，及最小值后，可得出x的取值范圍．

解答：解：（1）連接BE，如圖2：
證明：∵點E是AC的中點，△ABC是等腰直角三角形，
∴BE=EC=AE，∠PBE=∠C=45°，
∵∠PEB+∠BEQ=∠QEC+∠BEQ=90°，
∴∠PEB=∠QEC，
在△BEP和△CEQ中，

∠BEP=∠CEQ BE=CE ∠PBE=∠C

，
∴△BEP≌△CEQ（ASA），
∴EP=EQ．

（2）①作EM⊥AB于點M，EN⊥BC于點N，如圖3：
∵∠A=∠C=45°，
∴EM=AM，EN=CN，
∵∠MEP+∠PEN=∠NEQ+∠PEN=90°，
∴∠MEP=∠NEQ，
又∵∠EMP=∠ENQ=90°，
∴△MEP∽△NEQ，
∴EP：EQ=ME：NE=ME：CN=AE：CE=1：2，
故EQ=2EP．
②設EQ=x，由①得，EP=

1

2

x，
∴S_△EPQ=

1

2

EP×EQ=

1

4

x²，
當EQ=EF時，EQ取得最大，此時EQ=DE×tan30°=30×

3

3

=10

3

；
當EQ⊥BC時，EQ取得最小，此時EQ=EC×sin45°=20×

2

2

=10

2

；
即10

2

≤x≤10

3

，
綜上可得：S=

1

4

x²（10

2

≤x≤10

3

）．

點評：本題考查了幾何變換綜合題，涉及了等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質，綜合考察的知識點較多，對于此類綜合性較強的題目，關鍵還是需要同學們有扎實的基本功，注意培養自己的融會貫通能力．