Question

（2010•惠安縣質檢）如圖，拋物線y=x²-2x-3與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點．
（1）求拋物線的頂點坐標；
（2）設直線y=-x+3與y軸的交點是D，在線段BD上任取一點E（不與B，D重合），經過A，B，E三點的圓交直線BC于點F，試判斷△AEF的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）用配方法將拋物線的解析式化為頂點坐標式，即可得到拋物線的頂點坐標．
（2）根據拋物線和已知直線的解析式，易求得A、B、C、D四點的坐標，即可得到∠OBD、∠OBC的度數；在過A、E、F三點的圓中，由圓周角定理知：∠AEF=∠OBC，∠AFE=∠OBE，即可得到∠AEF、∠AFE的度數，然后根據這兩個角的度數來判斷△AEF的形狀．
解答：解：（1）y=x²-2x-3
=x²-2x+1-1-3
=（x-1）²-4；
∴拋物線的頂點坐標為（1，-4）．

（2）由拋物線y=x²-2x-3和直線y=-x+3可求得：
A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）、D（0，3），
∴OB=OC=OD=3，
∴∠OBD=∠OBC=45°；
又∵∠OBD=∠AFE，∠OBC=∠AEF（在同圓中，同弧所對的圓周角相等），
∴∠AFE=∠AEF=45°，
∴∠EAF=90°，AE=AF；
∴△AEF是等腰直角三角形．
點評：此題考查了函數圖象與坐標軸交點坐標的求法、圓周角定理、等腰直角三角形的判定等知識，在解題過程中，要注意數形結合思想的應用，難度中上．