Question

如圖，平面直角坐標系中，直線AB與x軸，y軸分別交于A（3，0），B（0，）兩點，點C為線段AB上的一動點，過點C作CD⊥x軸于點D．
（1）求直線AB的解析式；
（2）若S_梯形OBCD=，求點C的坐標；
（3）在第一象限內是否存在點P，使得以P，O，B為頂點的三角形與△OBA相似？若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為直線AB與x軸，y軸分別交于A（3，0），B（0，）兩點，所以可設y=kx+b，將A、B的坐標代入，利用方程組即可求出答案；
（2）因為點C為線段AB上的一動點，CD⊥x軸于點D，所以可設點C坐標為（x，x+），那么OD=x，CD=x+，利用梯形的面積公式可列出關于x的方程，解之即可，但要注意x的取值；
（3）因為∠AOB=90°，所以以P，O，B為頂點的三角形與△OBA相似需分情況探討：
當∠OBP=90°時，如圖
①若△BOP∽△OBA，則∠BOP=∠BAO=30°，BP=OB=3，P₁（3，）．
②若△BPO∽△OBA，則∠BPO=∠BAO=30°，OP=OB=1，P₂（1，）．
③過點P作OP⊥BC于點P，此時△PBO∽△OBA，∠BOP=∠BAO=30°，OP=BP，過點P作PM⊥OA于點M，∠OPM=30°，OM=OP，PM=OM，從而求得P的坐標．
④若△POB∽△OBA，則∠OBP=∠BAO=30°，∠POM=30°，所以PM=OM，P₄（，）；當∠POB=90°時，點P在x軸上，不符合要求．
解答：解：（1）設直線AB解析式為：y=kx+b，
把A，B的坐標代入得k=-，b=
所以直線AB的解析為：y=x+．

（2）方法一：設點C坐標為（x，x+），那么OD=x，CD=x+．
∴S_梯形OBCD==x．
由題意：x=，
解得x₁=2，x₂=4（舍去），
∴C（2，）（1分）
方法二：∵，S_梯形OBCD=，∴．
由OA=OB，得∠BAO=30°，AD=CD．
∴S_△ACD=CD×AD==．可得CD=．
∴AD=1，OD=2．∴C（2，）．

（3）當∠OBP=90°時，如圖

①若△BOP∽△BAO，
則∠BOP=∠BAO=30°，BP=OB=3，
∴P₁（3，）．（2分）
②若△BPO∽△BAO，
則∠BPO=∠BAO=30°，OP=OB=1．
∴P₂（1，）．（1分）
當∠OPB=90°時
③過點P作OP⊥BA于點P（如圖），
此時△PBO∽△OBA，∠BOP=∠BAO=30°
過點P作PM⊥OA于點M．
方法一：在Rt△PBO中，BP=OB=，
OP=BP=．
∵在Rt△PMO中，∠OPM=30°，
∴OM=OP=；PM=OM=．∴P₃（，）．
方法二：設P（x，x+），得OM=x，
PM=x+，
由∠BOP=∠BAO，得∠POM=∠ABO．
∵tan∠POM==，tan∠ABO==．
∴x+=x，解得x=．此時P₃（，）．
④若△POB∽△OBA（如圖），
則∠OBP=∠BAO=30°，∠POM=30度．
∴PM=OM=．
∴P₄（，）（由對稱性也可得到點P₄的坐標）．
當∠POB=90°時，點P在x軸上，不符合要求．
綜合得，符合條件的點有四個，分別是：P₁（3，），P₂（1，），P₃（，），P₄（，）．
點評：本題綜合考查了用待定系數法求一次函數的解析式和相似三角形的有關知識，解決這類問題常用到分類討論、數形結合、方程和轉化等數學思想方法．