Question

如圖，在直角坐標系xOy中，Rt△OAB和Rt△OCD的直角頂點A，C始終在x軸的正半軸上，B，D在第一象限內，點B在直線OD上方，OC=CD，OD=2，M為OD的中點，AB與OD相交于E，當點B位置變化時，Rt△OAB的面積恒為

1

2

．
試解決下列問題：
（1）點D坐標為（　　）；
（2）設點B橫坐標為t，請把BD長表示成關于t的函數關系式，并化簡；
（3）等式BO=BD能否成立？為什么？
（4）設CM與AB相交于F，當△BDE為直角三角形時，判斷四邊形BDCF的形狀，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）在Rt△OCD中，根據勾股定理易求OC=CD=

2

．
（2）根據Rt△OAB的面積是

1

2

可求出B點的坐標，因為BD²=AC²+（AB-CD）²，所以把B點的坐標代入可得BD長，即可表示成關于t的函數關系式．
（3）假設OB=BD，在Rt△OAB中，用t把OB表示出來，根據題（2）中用t表示的BD．兩者相等，可得一二次函數表達式，用根的判別式判斷是否有解．
（4）兩種情況，先假設∠EBD=90°時（如圖2），此時F、E、M三點重合，根據已知條件此時四邊形BDCF為直角梯形，然后假設∠EDB=90°時（如圖3），根據已知條件，此時四邊形BDCF為平行四邊形，在Rt△OCD中，OB²=OD²+BD²，用t把各線段表示出來代入，可求出BD=CD=

2

，即此時四邊形BDCF為菱形．

解答：解：（1）D（

2

，

2

）；（1分）

（2）由Rt△OAB的面積為

1

2

，得B（t，

1

t

），
∵BD²=AC²+（AB-CD）²，
∴BD²=（

2

-t）²+（

1

t

-

2

）²=t²+

1

t2

-2

2

（t+

1

t

）+4①
=(t+

1

t

)2-2

2

(t+

1

t

)+2=(t+

1

t

-

2

)2，
∴BD=|t+

1

t

-

2

|=t+

1

t

-

2

②；

（3）解法一：若OB=BD，則OB²=BD²．
在Rt△OAB中，OB²=OA²+AB²=t²+

1

t2

．
由①得t²+

1

t2

=t2+

1

t2

-2

2

(t+

1

t

)+4．
解得：t+

1

t

=

2

，∴t²-

2

t+1=0，
∵△=(

2

)2-4=-2＜0，∴此方程無解．
∴OB≠BD．

解法二：若OB=BD，則B點在OD的中垂線CM上．
∵C(

2

，0)，在等腰Rt△OCM中，可求得M(

2

2

，

2

2

)，
∴直線CM的函數關系式為y=-x+

2

，③
由Rt△OAB的面積為

1

2

，得B點坐標滿足函數關系式y=

1

x

．④
聯立③，④得：x²-

2

x+1=0，
∵△=(

2

)2-4=-2＜0，∴此方程無解，
∴OB≠BD．

解法三：若OB=BD，則B點在OD的中垂線CM上，如圖1
過點B作BG⊥y軸于G，CM交y軸于H，
∵S_△OBG=S_△OAB=

1

2

，
而S_△OMH=S_△MOC=

1

2

S△DOC=

1

2

×

2

×

2

×

1

2

=

1

2

，（5分）
顯然與S_△HMO與S_△OBG矛盾．
∴OB≠BD．

（4）如果△BDE為直角三角形，因為∠BED=45°，
①當∠EBD=90°時，此時F，E，M三點重合，如圖2
∵BF⊥x軸，DC⊥x軸，∴BF∥DC．
∴此時四邊形BDCF為直角梯形．

②當∠EDB=90°時，如圖3
∵CF⊥OD，
∴BD∥CF．
又AB⊥x軸，DC⊥x軸，
∴BF∥DC．
∴此時四邊形BDCF為平行四邊形．
下證平行四邊形BDCF為菱形：

解法一：在△BDO中，OB²=OD²+BD²，
∴t²+

1

t2

=4+t2+

1

t2

-2

2

(t+

1

t

)+4，
∴t+

1

t

=2

2

，
[方法①]t²-2

2

t+1=0，∵BD在OD上方
解得：t=

2

-1，

1

t

=

2

+1或t=

2

+1，

1

t

=

2

-1（舍去）．
得B(

2

-1，

2

+1)，
[方法②]由②得：BD=t+

1

t

-

2

=2

2

-

2

=

2

，
此時BD=CD=

2

，
∴此時四邊形BDCF為菱形（9分）

解法二：在等腰Rt△OAE與等腰Rt△EDB中
∵OA=AE=t，OE=

2

t，則ED=BD=2-

2

t，
∴AB=AE+BE=t+

2

（2-

2

t）=2

2

-t，
∴2

2

-t=

1

t

，即t+

1

t

=2

2

以下同解法一，
此時BD=CD=

2

，
∴此時四邊形BDCF為菱形．（9分）

點評：此題考查了一次函數解析式的確定、根的判別式、三角形面積的求法、菱形的判定以及勾股定理的應用等知識，綜合性強，難度較大．