Question

“百誠”公司投資750萬元，成功研制出一種市場需求量較大的產品，并再投入資金1750萬元進行相關生產設備的購買．已知生產過程中，每件產品的成本為60元．在銷售過程中發現，當銷售單價定為120元時，年銷售量為24萬件；銷售單價每增加10元，年銷售量將減少1萬件．設銷售單價為x（元）（x＞120），年銷售量為y（萬件），第一年年獲利（年獲利=年銷售額-生產成本-投資）為z（萬元）．
（1）請直接寫出y與x之間，z與x之間的函數關系式：
______，______；
（2）計算銷售單價為200元時的第一年年獲利，請問公司此時虧損還是盈利？并說明為了得到同樣的年獲利，銷售單價還可以定為多少元？
（3）公司計劃：在第一年按年獲利最大時確定的銷售單價進行銷售；第二年后總獲利要不低于1840萬元．請說明，第二年的銷售單價x應確定在什么范圍內．

Answer 1

由題意得：
（1）y=24-

x-120

10

，即：y=-

1

10

x+36，
z=-

1

10

x2+42x-4660；
（2）當x取200時，z=-

1

10

×2002+42×200-4660=-260
此時公司虧損了260萬元
因為此拋物線的對稱軸為x=210
所以當x=220時，也能獲得同樣的年獲利
（3）z=-

1

10

(x-210)2-250
∴當x=210時，z取最大值，最大值為-250，
也就是說：當銷售單價定為210元時，年獲利最大，并且到第一年年底公司還差250萬元就可收回全部投資
第二年的銷售單價定為x元，
則年獲利為z=(-

1

10

x+36)(x-60)
=-

1

10

x2+42x-2160=-

1

10

(x-210)2+2250，
當z年獲利為1840萬時，
即z=1840+250=2090，
所以令2090=-

1

10

(x-210)2+2250，
解得x₁=170，x₂=250，
當170≤x≤250時，z≥2090，
∴第二年的銷售單價應確定在不低于170元且不高于250元的范圍內．