Question

兩個長為2cm，寬為1cm的長方形，擺放在直線l上（如圖①），CE=2cm，將長方形ABCD繞著點C順時針旋轉α角，將長方形EFGH繞著點E逆時針旋轉相同的角度．
（1）當旋轉到頂點D、H重合時，連接AG（如圖②），求點D到AG的距離；
（2）當α=45°時（如圖③），求證：四邊形MHND為正方形．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據條件CD=CE=DE=2cm，判定△CDE是等邊三角形，利用∠CDE=60°，AD=DG，求出∠DAG=∠DGA=30°，從而求出D到AG的距離為cm；
（2）通過判定四邊形MHND四個角是90°，且鄰邊DN=NH來判定四邊形MHND是正方形．
解答：（1）解：如圖②，作DK⊥AG于點K，
∵CD=CE=DE=2cm，
∴△CDE是等邊三角形，
∴∠CDE=60°，（1分）
∴∠ADG=360°-2×90°-60°=120°．
∵AD=DG=1cm，
∴∠DAG=∠DGA=30°，（2分）
∴DK=DG=cm，
∴點D到AG的距離為cm．（4分）

（2）證明：∵α=45°，BC∥EH，
∴∠NCE=∠NEC=45°，CN=NE，
∴∠CNE=90°，（5分）
∴∠DNH=90°，
∵∠D=∠H=90°，
∴四邊形MHND是矩形，（6分）
∵CN=NE，
∴DN=NH，（7分）
∴矩形MHND是正方形．（8分）
點評：本題考查旋轉相等的性質和等邊三角形性質以及正方形的判定的方法．（旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等以及每一對對應點與旋轉中心連線所構成的旋轉角相等．正方形的判定的方法：兩鄰邊相等的矩形是正方形．）