Question

（1）如圖中①、②，銳角的正弦值和余弦值都是隨著銳角的確定而確定，變化而變化，試探索隨著銳角度數的增大，它的正弦值及余弦值的變化規律；
（2）根據你探索到的規律，試分別比較18°、34°、50°、62°、88°這些銳角的正弦值的大小和余弦值的大小．

Answer 1

分析：（1）根據概念，不難發現：隨著一個銳角的增大，它的對邊在減小，鄰邊在增大，即可找到正余弦值的變化規律；
（2）根據正余弦值的變化規律，即可比較正余弦值的大小．

解答：解：（1）由圖①，知
sin∠B₁AC₁=

B1C1

AB1

，sin∠B₂AC₂=

B2C2

AB2

，
sin∠B₃AC₃=

B3C3

AB3

．
∵AB₁=AB₂=AB₃且B₁C₁＞B₂C₂＞B₃C₃，
∴

B1C1

AB1

＞

B2C2

AB2

＞

B3C3

AB3

．
∴sin∠B₁AC₁＞sin∠B₂AC₂＞sin∠B₃AC₃．
而∠B₁AC₁＞∠B₂AC₂＞∠B₃AC₃，
而對于cos∠B₁AC₁=

AC1

AB1

，
cos∠B₂AC₂=

AC2

AB2

，
cos∠B₃AC₃=

AC3

AB3

．
∵AC₁＜AC₂＜AC₃，
∴cos∠B₁AC₁＜cos∠B₂AC₂＜cos∠B₃AC₃．
而∠B₁AC₁＞∠B₂AC₂＞∠B₃AC₃．
由圖②知sin∠B₃AC=

B3C

AB3

，
∴sin²∠B₃AC=

B3C2

A B 2 3

．
∴1-sin²∠B₃AC=1-

B3C2

A B 2 3

=

A B 2 3 -B3C2

A B 2 3

=

AC2

A B 2 3

．
同理，sin∠B₂AC=

B2C

AB2

，1-sin²∠B₂AC=

AC2

A B 2 2

，
sin∠B₁AC=

B1C

AB2

，1-sin²∠B₁AC=

AC2

A B 2 1

．
∵AB₃＞AB₂＞AB₁，∴

AC2

A B 2 3

＜

AC2

A B 2 2

＜

AC2

A B 2 1

．
∴1-sin²∠B₃AC＜1-sin²∠B₂AC＜1-sin²∠B₁AC．
∴sin²∠B₃AC＞sin²∠B₂AC＞sin²∠B₁AC．
∵∠B₃AC，∠B₂AC，∠B₁AC均為銳角，
∴sin∠B₃AC＞sin∠B₂AC＞sin∠B₁AC．
而∠B₃AC＞∠B₂AC＞∠B₁AC．
而對于cos∠B₃AC=

AC

AB3

，
cos∠B₂AC=

AC

AB2

，
cos∠B₁AC=

AC

AB1

．
∵AB₃＞AB₂＞AB₁，∴

AC

AB3

＜

AC

AB2

＜

AC

AB1

．
∴cos∠B₃AC＜cos∠B₂AC＜cos∠B₁AC．
而∠B₃AC＞∠B₂AC＞∠B₁AC．
結論：銳角的正弦值隨角度的增大而增大，銳角的余弦值隨角度的增大而減小．

（2）由（1）知
sin18°＜sin34°＜sin50°＜sin62°＜sin88°，
cos18°＞cos34°＞cos50°＞cos62°＞cos88°．

點評：理解銳角三角函數的概念，掌握銳角三角函數值的變化規律．