Question

已知：如圖，在△ABC中，D是AC的中點，E是線段BC延長線上一點，過點A作BE的平行線與線段ED的延長線交于點F，連接AE，CF．
（1）求證：AF=CE；
（2）若AC=EF，試判斷四邊形AFCE是什么樣的四邊形，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）可通過全等三角形來證明簡單的線段相等．△ADF和△CDE中，已知了AD=CD，∠ADF=∠CDE，AF∥BE，因此不難得出兩三角形全等，進而可得出AF=CE．
（2）需先證明四邊形AFCE是平行四邊形，那么對角線相等的平行四邊形是矩形．
解答：（1）證明：在△ADF和△CDE中，
∵AF∥BE，
∴∠FAD=∠ECD．
又∵D是AC的中點，
∴AD=CD．
∵∠ADF=∠CDE，
∴△ADF≌△CDE．
∴AF=CE．

（2）解：若AC=EF，則四邊形AFCE是矩形．
證明：由（1）知：AF=CE，AF∥CE，
∴四邊形AFCE是平行四邊形．
又∵AC=EF，
∴平行四邊形AFCE是矩形．
點評：兩條線段在不同的三角形中要證明相等時，通常是利用全等來進行證明．