Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點A（0，b），點B（a，0），點D（2，0），其中a、b滿足， DE⊥x軸，且∠BED=∠ABO,直線AE交x軸于點C.

(1)求A、B、E三點的坐標；

(2) 若以AB為一邊在第二象限內構造等腰直角三角形△ABF，請直接寫出點F的坐標．

Answer 1

【答案】(1)A(0,3)，B(-1,0)，E(2,1)，(2) (-4,1)(-3,4)(-2,2)

【解析】

（1）先根據非負數的性質求出a、b的值，進而可得出A、B兩點的坐標；由已知角相等，加上一對直角相等，且根據A，B與D的坐標確定出OA=BD，利用AAS得到△AOB與△BED全等，利用全等三角形的對應邊相等得到OB=ED，進而確定出E坐標.

（2）分∠BAF=90°，∠ABF=90°或∠AFB=90°三種情況進行討論．

解：（1）∵a、b滿足+|b-3|=0，

∴a+1=0，b-3=0，解得a=-1，b=3，

∵A（0，3），B（-1，0）；

（2）∵B（-1，0），D（2，0），A（0，3），

∴OB=1，OD=2，即BD=OB+OD=1+2=3，

∴OA=BD=3，

在△ABO和△BED中，

∠AOB=∠BDE=90°，

∠ABO=∠BEO，

OA=BD，

∴△ABO≌△BED（AAS），

∴ED=OB=1，

∴E（2，1）.

（2）如圖所示，當∠BAF=90°時，

過點F1作F1G⊥y軸于點G，

∵∠F1AG+∠AF1G=90°，∠F1AG+∠BAO=90°，

∴∠AF1G=∠BAO，

在△AGF1與△BOA中，

∠AF1G=∠BAO，

∠AGF1=∠BOA，

AF1=AB，

∴△AGF1≌△BOA，

∴AG=OB=1，GF1=OA=3，

∴F1（-3，4）；

當∠ABF=90°時，過點F2作F2G⊥x軸于點H，

同理可得△OAB≌△HBF2，

∴BH=OA=3，F2H=OB=1，

∴OH=BH+OB=3+1=4，

∴F2（-4，1）；

當∠AFB=90°時，設直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），

∵A（0，3），B（-1，0），

∴ ，解得 ，

∴直線AB的解析式為y=3x+3．

設線段AB的中點為M，則M（-， ），

設線段AB的垂直平分線l的解析式為y=-x+c（a≠0），

∴+c=，解得c=，

∴直線l的解析式為y=-x+．

設F3（x，-x+），

∵△AF3B是等腰直角三角形，AB==，

∴AF3=，

∴x2+（-x+-3）2=5，解得x=-1，

∴F3（-1，2）．

綜上所述，F點的坐標為（-3，4）或（-4，1）或（-1，2）．