Question

有一個定理：若x₁、x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a、b、c為系數且為常數）的兩個實數根，則x₁+x₂=-

b

a

、x₁•x₂=

c

a

，這個定理叫做韋達定理． 如：x₁、x₂是方程x²+2x-1=0的兩個實數根，則x₁+x₂=-2、x₁•x₂=-1． 若x₁，x₂是方程2x2+(m-1)x-

1

2

m=0的兩個實根．試求：
（1）x₁+x₂與x₁•x₂的值（用含有m的代數式表示）；
（2）

x

2 1

+

x

2 2

的值（用含有m的代數式表示）；
（3）若(x1-x2)2=1，試求m的值．

Answer 1

分析：（1）由x₁，x₂是方程2x²+（m-1）x-

1

2

m=0的兩個實根，根據根與系數的關系可得x₁+x₂=-

m-1

2

，x₁•x₂=

- 1 2 m

2

=-

m

4

；
（2）由x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂，將（1）代入即可求得答案；
（3）由（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂，將（1）代入即可得方程：

(m+1)2

4

=1，繼而求得m的值．

解答：解：（1）∵x₁，x₂是方程2x²+（m-1）x-

1

2

m=0的兩個實根，
∴x₁+x₂=-

m-1

2

，x₁•x₂=

- 1 2 m

2

=-

m

4

；

（2）x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=（-

m-1

2

）²-2×（-

m

4

）=

m2+1

4

；

（3）∵（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=（-

m-1

2

）²-4×（-

m

4

）=

(m+1)2

4

=1，
解得：m₁=1，m₂=-3，
當m=1時，原方程為：2x²-

1

2

=0，△=4＞0，符合題意；
當m=-3時，原方程為：2x²-4x+

3

2

=0，△=4＞0，符合題意；
∴m的值為1或-3．

點評：此題考查了一元二次方程根與系數的關系以及根的判別式．此題難度較大，注意掌握若二次項系數不為1，x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

知識的應用．