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如圖,AB為⊙O的直徑,AC為⊙O的弦,AD平分∠BAC,交⊙O于點D,DE⊥AC,交AC的延長線于點E.
(1)判斷直線DE與⊙O的位置關系,并說明理由;
(2)若AE=8,⊙O的半徑為5,求DE的長.

【答案】分析:(1)直線DE與圓O相切,理由為:連接OD,由AD為角平分線得到一對角相等,再由OA=OD,根據等邊對等角得到一對角相等,等量代換可得出一對內錯角相等,根據內錯角相等兩直線平行得出OD平行于AE,由∠AED為直角,得到∠ODE為直角,即DE垂直于OD,可得出DE為圓O的切線;
(2)法1:過D作DF垂直于AB,交AB于點F,又AE垂直于ED,得到一對直角相等,再由AD為角平分線得到一對角相等,且AD為公共邊,利用AAS三角形ADE與三角形ADF全等,根據全等三角形的對應邊相等可得出AE=AF,DE=DF,由AF-OA求出OF的長,在直角三角形PDF中,由OD及OF的長,利用勾股定理求出DF的長,即為DE的長;
法2:連接DB,由AB為圓O的直徑,根據直徑所對的角為直角得到一個直角,再由AE垂直于ED得到兩一個直角,兩直角相等,再加上AD為角平分線得到一對角相等,利用兩對對應角相等的兩數三角形相似可得出三角形AED與三角形ABD相似,由相似得比例,將AE及AB的長代入求出AD的長,在直角三角形ADE中,由AD及AE的長,利用勾股定理即可求出DE的長;
法3:過O作OF垂直于AD,根據垂徑定理得到F為AD的中點,且得到一個角為直角,再由DE垂直于AE得到另一個角為直角,進而得到兩直角相等,再由AD為角平分線得到的一對角相等,利用兩對對應角相等的兩三角形相似可得出三角形AED與三角形AOF相似,根據相似得比例,將AE及OA的長代入,得到關于AD的方程,求出方程的解得到AD的長,在直角三角形AED中,由AE及AD的長,利用勾股定理即可求出ED的長.
解答:解:(1)直線DE與⊙O相切,理由如下:
連接OD,如圖所示:

∵AD平分∠BAC,
∴∠EAD=∠OAD,
∵OA=OD,
∴∠ODA=∠OAD,
∴∠ODA=∠EAD,
∴EA∥OD,
∵DE⊥EA,
∴DE⊥OD,
又∵點D在⊙O上,
∴直線DE與⊙O相切;

(2)法1:如圖,作DF⊥AB,垂足為F,

∴∠DFA=∠DEA=90°,
∵AD為角平分線,
∴∠EAD=∠FAD,
在△EAD和△FAD中,

∴△EAD≌△FAD(AAS),又AE=8,
∴AF=AE=8,DF=DE,
∵OA=OD=5,
∴OF=AF-OA=8-5=3,
在Rt△DOF中,OD=5,OF=3,
根據勾股定理得:DF==4,
則DE=DF=4;
法2:如圖,連接DB,

∵AB為⊙O的直徑,
∴∠ADB=90°,又∠AED=90°,
∴∠ADB=∠AED,又∠EAD=∠DAB,
∴△EAD∽△DAB,又AE=8,BA=2OA=10,
=,即=
解得:DA=4
在Rt△ADE中,AE=8,AD=4
DE==4;
法3:如圖,作OF⊥AD,垂足為F,

∴AF=AD,∠AFO=∠AED=90°,
∵∠EAD=∠FAO,
∴△EAD∽△FAO,
=,又AE=8,OA=5,AF=AD,
=
解得:DA=4
在Rt△ADE中,AE=8,AD=4
根據勾股定理得:DE==4.
點評:此題考查了切線的性質,相似三角形的判定與性質,圓周角定理,垂徑定理,勾股定理,全等三角形的判定與性質,平行線的性質,熟練掌握性質及定理是解本題的關鍵,同時本題第二問利用了三種方法求解,注意運用一題多解的方法解題.
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[  ]

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