Question

（2006•遼寧）如圖，已知△ABC的面積為3，且AB=AC，現(xiàn)將△ABC沿CA方向平移CA長(zhǎng)度得到△EFA．
（1）求△ABC所掃過的圖形的面積；
（2）試判斷AF與BE的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）若∠BEC=15°，求AC的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意：易得△ABC≌△EFA，BA∥EF，且BA=EF，進(jìn)而得出S_{平行四邊形ABFE}=2S_△EAF，故可求出△ABC掃過圖形的面積為S_{平行四邊形ABFE}；
（2）根據(jù)平移的性質(zhì)，可得四邊形ABFE為菱形，故AF與BE互相垂直且平分；
（3）根據(jù)題意易得：所以∠AEB=∠ABE=15°，BD•AC=3，可得AC•AC=3，進(jìn)而可得AC的長(zhǎng)度．
解答：解：（1）連接BF，由題意知△ABC≌△EFA，BA∥EF，且BA=EF
∴四邊形ABFE為平行四邊形，
∴S_{平行四邊形ABFE}=2S_△EAF
∴△ABC掃過圖形的面積為S_{平行四邊形ABFE}=2×3=6；

（2）由（1）知四邊形ABFE為平行四邊形，且AB=AE，
∴四邊形ABFE為菱形，
∴AF與BE互相垂直且平分．

（3）過點(diǎn)B作BD⊥CA于點(diǎn)D，
∵AB=AE，
∴∠AEB=∠ABE=15°．
∴∠BAD=30°，BD=AB=AC．
∴BD•AC=3，
∴AC•AC=3．
∴AC²=12．
∴AC=2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用全等三角形的判定、菱形的判定和平移的知識(shí)結(jié)合求解．考查了學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)的能力．