Question

9、已知：如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，點P為BC邊上一點，PE⊥AB，PF⊥CD，BG⊥CD，垂足分別為E、F、G．求證：PE+PF=BG．

Answer 1

分析：過P作PH⊥BG，把BG分成兩段，根據矩形得到PF=HG，再證明△BPH和△PBE全等得到PE=BH，所以PE+PF=BG．

解答：證明：過點P作PH⊥BG，垂足為H，（1分）
∵BG⊥CD，PF⊥CD，PH⊥BG，
∴∠PHG=∠HGC=∠PFG=90°，
∴四邊形PHGF是矩形，
∴PF=HG，PH∥CD，（1分）
∴∠BPH=∠C，（1分）
在等腰梯形ABCD中，∠PBE=∠C，
∴∠PBE=∠BPH，（1分）
∵∠PEB=∠BHP=90°，BP=PB，∠PBE=∠BPH，
∴△PBE≌△BPH（AAS）（2分）
∴PE=BH，（1分）
∴PE+PF=BH+HG=BG．（1分）

點評：本題利用“截長補短法”的截長，即把較長的線段截為兩段，再分別證明線段相等，從而問題得以解決．