Question

（2008•莆田）如圖，拋物線c₁：y=x²-2x-3與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C．點P為線段BC上一點，過點P作直線l⊥x軸于點F，交拋物線c₁點E．
（1）求A、B、C三點的坐標；
（2）當點P在線段BC上運動時，求線段PE長的最大值；
（3）當PE為最大值時，把拋物線c₁向右平移得到拋物線c₂，拋物線c₂與線段BE交于點M，若直線CM把△BCE的面積分為1：2兩部分，則拋物線c₁應向右平移幾個單位長度可得到拋物線c₂？

Answer 1

【答案】分析：（1）已知了拋物線的解析式即可求出A、B、C三點的坐標．
（2）由于直線l與y軸平行，那么F、P、E三點的橫坐標就應該相等，那么PE的長可看做是直線BC的函數值和拋物線的函數值的差．由此可得出關于PE的長和三點橫坐標的函數關系式，根據函數的性質即可得出PE的最大值．
（3）先用平移的單位設出c₂的解析式．由于直線CM把△BCE的面積分為1：2兩部分，根據等高三角形的面積比等于底邊比，可得出ME：BE=1：2或2：1．因此本題要分兩種情況進行討論，可過M作x軸的垂線，先根據相似三角形求出M點的橫坐標，然后根據直線BE的解析式，求出M點的坐標．由于拋物線c₂經過M點，據此可求出拋物線需要平移的單位．
解答：解：（1）已知拋物線過A、B、C三點，令y=0，
則有：x²-2x-3=0，
解得x=-1，x=3；
因此A點的坐標為（-1，0），B點的坐標為（3，0）；
令x=0，y=-3，
因此C點的坐標為（0，-3）．

（2）設直線BC的解析式為y=kx-3．
則有：3k-3=0，k=1，
因此直線BC的解析式為y=x-3．
設F點的坐標為（a，0）．
PE=EF-PF=|a²-2a-3|-|a-3|=-a²+3a=-（a-）²+（0≤a≤3）
因此PE長的最大值為．

（3）由（2）可知：F點的坐標為（，0）．
因此BF=OB-OF=．
設直線BE的解析式為y=kx+b．則有：
，
解得：，
∴直線BE的解析式為y=x-．
設平移后的拋物線c₂的解析式為y=（x-1-k）²-4（k＞0）．
過M作MN⊥x軸于N，
①ME：MB=2：1；
∵MN∥EF
∴
∴BN=，
∴N點的坐標為（，0），又直線BE過M點．
∴M點坐標為（，-）．
由于拋物線c2過M點，
因此-=（-1-k）²-4，
解得k=（負值舍去）．
②ME：MB=1：2；

∴BN=1
∴N點的坐標為（2，0），
∴M點的坐標為（2，-）．
由于拋物線c₂過M點，
則有-=（2-1-k）²-4，
解得k=1+（負值舍去）．
因此拋物線c₁應向右平移或1+個單位長度后可得到拋物線c₂．
點評：本題主要考查了一次函數解析式的確定、二次函數圖象的平移、圖形面積的求法、函數圖象交點等知識點，考查了學生分類討論數形結合的數學思想方法．