Question

已知方程x²-6x-4n²-32n=0的根都是整數．求整數n的值．

Answer 1

分析：利用求根公式求得x的值，讓根的判別式為一個完全平方數，進而整理為兩個因式的積為一個常數的形式，判斷整數解即可．

解答：解：原方程解得：

x= 6± 36+4(4n2+32n) 2 = 6± 4×4n2+4×32n+4×9 2 = 6±2 4n2+32n+9 2 =3± 4n2+32n+9

因為方程的根是整數，所以4n²+32n+9是完全平方數．
設4n²+32n+9=m²（m≠0且為整數）
（2n+8）²-55=m²
（2n+8+m）（2n+8-m）=55，
因55=1×55=（-1）×（-55）=（-5）×（-11）=5×11，
∴

2n+8+m=55 2n+8-m=1

2n+8+m=11 2n+8-m=5

2n+8+m=-1 2n+8-m=-55

2n+8+m=-5 2n+8-m=-11

，
解得：n=10、0、-8、-18．

點評：考查二次方程中系數的求法；一元二次方程的根均為整數，那么根的判別式為完全平方數；注意兩數的積為一個正數，那么這兩個數同為正數或同為負數．