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如圖,在以O為圓心的兩個同心圓中,AB經過圓心O,且與小圓相交于點A、與大圓相交于點B.小圓的切線AC與大圓相交于點D,且CO平分∠ACB.
(1)試判斷BC所在直線與小圓的位置關系,并說明理由;
(2)試判斷線段AC、AD、BC之間的數量關系,并說明理由;
(3)若AB=8cm,BC=10cm,求大圓與小圓圍成的圓環的面積.(結果保留π)

【答案】分析:(1)只要證明OE垂直BC即可得出BC是小圓的切線,即與小圓的關系是相切.
(2)利用全等三角形的判定得出Rt△OAD≌Rt△OEB,從而得出EB=AD,從而得到三者的關系是前兩者的和等于第三者.
(3)根據大圓的面積減去小圓的面積即可得到圓環的面積.
解答:解:(1)BC所在直線與小圓相切.
理由如下:
過圓心O作OE⊥BC,垂足為E;
∵AC是小圓的切線,AB經過圓心O,
∴OA⊥AC;
又∵CO平分∠ACB,OE⊥BC,
∴OE=OA,
∴BC所在直線是小圓的切線.

(2)AC+AD=BC.
理由如下:
連接OD.
∵AC切小圓O于點A,BC切小圓O于點E,
∴CE=CA;
∵在Rt△OAD與Rt△OEB中,
∴Rt△OAD≌Rt△OEB(HL),
∴EB=AD;
∵BC=CE+EB,
∴BC=AC+AD.

(3)∵∠BAC=90°,AB=8cm,BC=10cm,
∴AC=6cm;
∵BC=AC+AD,
∴AD=BC-AC=4cm,
∵圓環的面積為:S=π(OD)2-π(OA)2=π(OD2-OA2),
又∵OD2-OA2=AD2
∴S=42π=16π(cm2).
點評:此題考查了學生對切線的性質與判定,全等三角形的判定,勾股定理等知識點的綜合運用能力.
練習冊系列答案
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精英家教網如圖,在以O為圓心的兩個同心圓中,大圓的直徑AB交小圓于C、D兩點,AC=CD=DB,分別以C、D為圓心,以CD為半徑作圓.若AB=6cm,則圖中陰影部分的面積為
 
cm2

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9、如圖,在以O為圓心的兩個同心圓中,大圓的弦AB是小圓的切線,點P為切點,已知AB=8,大圓半徑為5,則小圓半徑為(  )

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(2006•靜安區二模)如圖,在以O為圓心的兩個同心圓中,小圓的半徑為1,AB與小圓相切于點A,與大圓相交于B,大圓的弦BC⊥AB,過點C作大圓的切線交AB的延長線于D,OC交小圓于E
(1)求證:△AOB∽△BDC;
(2)設大圓的半徑為x,CD的長y,yx之間的函數解析式,并寫出定義域.
(3)△BCE能否成為等腰三角形?如果可能,求出大圓半徑;如果不可能,請說明理由.

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如圖,在以O為圓心的兩個同心圓中,MN為大圓的直徑,交小圓于點P、Q,大圓的弦MC交小圓于點A、B.若OM=2,OP=1,MA=AB=BC,則△MBQ的面積為
3
15
8
3
15
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如圖,在以O為圓心的兩個同心圓中,大圓的弦AB與小圓相切于點C,若大圓的半徑為5cm,小圓的半徑為3cm,則弦AB的長為(  )

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