Question

已知如圖，對稱軸為直線x=4的拋物線y=ax²+2x與x軸相交于點B、O．
（1）求拋物線的解析式．
（2）連接AB，平移AB所在的直線，使其經過原點O，得到直線l．點P是l上一動點，當△PAB的周長最小時，求點P的坐標．
（3）當△PAB的周長最小時，在直線AB的上方是否存在一點Q，使以A，B，Q為頂點的三角形與△POB相似？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，說明理由．（規定：點Q的對應頂點不為點O）

Answer 1

【答案】分析：（1）利用拋物線對稱軸求出a的值，從而得解；
（2）根據拋物線解析式求出點A、B的坐標，然后利用待定系數法求一次函數解析式求出直線AB的解析式，再根據互相平行的直線的解析式的k值相等求出直線l的解析式，再根據軸對稱的性質求出點A關于直線l的對稱點A′，連接A′B交直線l于點P，然后根據中點公式利用點A′、B的坐標求出點P即可；
（3）根據直線l的解析式可得∠POB=45°，再求出OP、AB的長度，然后分①∠BAQ=∠POB=45°時，②∠ABQ=∠POB=45°時，根據相似三角形對應邊成比例列式求出AQ的長度，從而得解．
解答：解：（1）∵對稱軸為直線x=-=4，
∴a=-，
∴拋物線解析式為y=-x²+2x；

（2）∵y=-x²+2x=-（x²-8x+16）+4=-（x-4）²+4，
∴頂點坐標為A（4，4），
令y=0，則-x²+2x=0，
解得x₁=0，x₂=8，
∴點B的坐標為（8，0），
設直線AB的解析式為y=kx+b，
則，
解得，
所以，直線AB的解析式為y=-x+8，
∵直線l為直線AB平移至經過原點的直線，
∴直線l的解析式為y=-x，
如圖，取點A關于直線l的對稱點A′，連接A′B交直線l于點P，則△PAB的周長最小，
此時，點A（-4，-4），
點P為線段A′B的中點，
∵=2，=-2，
∴點P的坐標為（2，-2）；

（3）∵直線AB的解析式為y=-x+8，
∴直線AB與x軸、對稱軸的夾角的銳角為45°，
又∵l∥AB，
∴∠POB=45°，
根據勾股定理，AB==4，
PO==2，
①∠BAQ=∠POB=45°時，∵△POB∽△BAQ，
∴=，
即=，
解得AQ=16，
∴Q的橫坐標為16+4=20，縱坐標為4，
∴點Q的坐標為（20，4）；
②∠ABQ=∠POB=45°時，∵△POB∽△ABQ，
∴=，
即=，
解得BQ=16，
∴點Q的坐標為（8，16），
綜上所述，存在點Q（20，4）或（8，16）使以A，B，Q為頂點的三角形與△POB相似．
點評：本題是二次函數綜合題型，主要利用了拋物線的對稱軸公式，拋物線的對應點坐標，與x軸的交點坐標，利用軸對稱確定最短路線問題，相似三角形對應邊成比例的性質，（3）根據直線的解析式確定出45°是解題的關鍵，要注意分情況討論求解．